1、
双基限时练(二十六)
一、选择题
1．已知a2＋b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
解析 圆心到直线的距离d＝＝＜2
∴直线与圆相交，又c≠0(否则a＝b＝c＝0)，
∴圆心不在直线上．
答案 A
2．设直线l过点(－2,0)，且与x2＋y2＝1相切，则l的斜率为( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析 如图可知|OA|＝2，r＝1，
∴∠PAO＝30°＝∠QAO.
∴切线l的斜率为±.
答案 C
3．若圆心在x轴上，半径为的圆位于y
2、轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程为( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析 设圆心(a,0)(a＜0)，由题意，得
＝，得|a|＝5，即a＝－5.
所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案 D
4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a等于( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析 由题可得＝＝1，得
a＝－1或a＝－－1(舍)．
答案 C
5．假如直线ax＋by＝4与圆x
3、2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A．P在圆外
B．P在圆上
C．P在圆内
D．P与圆的位置关系不确定
解析 由题意，得＜2，
得a2＋b2＞4，即点P(a，b)在圆x2＋y2＝4外．
答案 A
6．设圆x2＋y2－8x－9＝0的弦AB的中点为P(5,2)，则直线AB的方程为( )
A．2x－5y＝0 B．2x－y－8＝0
C．x＋2y－9＝0 D．5x－2y－21＝0
解析 ∵x2＋y2－8x－9＝0可化为(x－4)2＋y2＝25
∴圆心为C(4,0)，故kPC＝＝2.
又PC⊥AB，∴kAB＝－.
故AB
4、所在的直线方程为y－2＝－(x－5)．
即x＋2y－9＝0.
答案 C
二、填空题
7．圆心为(1,2)且与5x－12y－7＝0相切的圆的方程为________．
解析 由题可知，(1,2)到5x－12y－7＝0的距离d＝＝＝2，
故所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝4
8．直线2x＋y＋5＝0与圆x2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 圆心O到2x＋y＋5＝0的距离d＝＝，即|AB|＝2＝4.
答案 4
9．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，过点A(－1,0)的弦中，弦长的最大值为
5、M，最小值为m，则M－m＝________.
解析 弦长的最大值M＝2r＝10，当弦与过A点与圆心的连线垂直时弦取得最小值m，此时
m＝2·＝2，
故M－m＝10－2.
答案 10－2
三、解答题
10．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程．
解 当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，
此时l与圆(x－3)2＋y2＝1相切，
当l的斜率存在时，设l：y－3＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋3＝0.
由题意，得＝1，
得k＝－，故l的方程为y－3＝－(x－2)，
综上得所求的切线方程为x＝2，或4x＋3y－17＝0.
11．直线y＝kx＋3与圆(
6、x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，求k的取值范围．
解
如图，设题中圆的圆心为C(2,3)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝，于是有|MN|＝2|MD|＝
2＝2≥2，即4－≥3，解得－≤k≤.
12．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4，求l的方程．
解 设所求的圆的方程为y－5＝k(x－5)，即：kx－y－5k＋5＝0，
∵直线与圆截得的弦长为4，
∴圆心到直线的距离为＝.
即＝.得k＝2或k＝.
∴所求的直线方程为2x－y－5＝0或x－2y＋5＝0.
思 维 探 究
13．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，l被圆C截得的弦为AB，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
解 不妨设直线方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程与圆的方程联立，消去y，可得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，∴x1＋x2＝－b－1，x1x2＝，
故y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝.
∵以AB为直径的圆过原点，故OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1，整理可知x1x2＋y1y2＝0，故＋＝0，解之得b＝－4，或b＝1，验证知，此时Δ＞0，故存在这样的直线l，其方程为y＝x－4，或y＝x＋1.
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