2021高中数学北师大版选修1-1学案：《变化的快慢与变化率》.docx

第1课时　变化的快慢与变化率

1.通过物理中的运动了解平均变化率和瞬时变化率的概念.
2.运用函数思想解决平均变化率问题.
3.理解平均变化率的无限靠近思想得到瞬时变化率,初步体会极限的思想.

借助多媒体播放2022年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不肯定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?

问题1:依据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,假如用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:
(1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度v-=　　　　　　　　　. 
(2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度v-=　　　　　　　　　. 
问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是　　　　　　.假如用x1与增量Δx表示,平均变化率的公式是　　　　　 　. 
问题3:如何求函数的瞬时变化率?
对一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是ΔyΔx=f(x1)-f(x0)x1-x0=　　　　　　　　　　　　. 
而当Δx趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
问题4:平均变化率与瞬时变化率的关系是什么?
(1)区分:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢.
(2)联系:当Δx趋于0时,平均变化率ΔyΔx趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.

1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(　　).
A.0.40　　　 B.0.41　　　 C.0.43　　　 D.0.44
2.函数f(x)=x+1x在区间[12,1]上的平均变化率是(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为　　　. 
4.婴儿从诞生到第24个月的体重变化如图,求其次年婴儿体重的月平均变化率.

求平均变化率
(1)已知函数f(x)=-x2+x的图像上的一点A(-1,-2)及四周一点B(-1+Δx,-2+Δy),则ΔyΔx=　　　. 
(2)求y=x2在x=x0四周的平均变化率.

求物体运动的瞬时速度
若一物体运动方程为s=3t2+2,　0≤t<3,29+3(t-3)2,t≥3,
求此物体在t=1和t=4时的速度.

求割线的斜率
过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.

函数y=5x2+6在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为　　　. 

质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.

已知曲线y=x2-3x+5经过P(2,3)和Q(2+Δx,3+Δy)作曲线的割线,求出Δx=0.01时割线的斜率.

1.自变量x从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　).
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率　
B.在x0处的变化率　
C.在x1处的变化量　
D.在区间[x0,x1]上的导数　
2.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1 ,k2的大小关系是(　　).
A.k1>k2　　 B.k1=k2
C.k1转变量Δy为　　　　　　　.  
(2)设函数y=f(x)=3x2,则Δy=f(1+Δx)-f(1)=　　　　　,ΔyΔx=　　　,limΔx→0ΔyΔx=　 　,f'(1)=　　　　. 
4.已知自由下落物体的运动方程是s=12gt2(s的单位是m,t的单位是s),求:
(1)物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度;
(2)物体在t0时的瞬时速度;
(3)物体在t0=2 s到t1=2.1 s这段时间内的平均速度;
(4)物体在t=2 s时的瞬时速度.　

试比较正弦函数y=sin x在x=0和x=π2四周的平均变化率哪一个大?并说明其含义.

　　考题变式(我来改编):

第三章　变化率及导数
第1课时　变化的快慢与变化率
学问体系梳理
问题1:(1)h(0.5)-h(0)0.5-0=4.05 m/s　(2)h(2)-h(1)2-1=-8.2 m/s
问题2:f(x2)-f(x1)x2-x1　f(x1+Δx)-f(x1)Δx
问题3:f(x0+Δx)-f(x0)Δx
基础学习沟通
1.B　∵x=2,Δx=0.1,∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.
2.B　f(1)-f(12)1-12=-1.
3.8　s(2+Δt)-s(2)=2(2+Δt)2-2×22=2(Δt)2+8Δt,
∴limΔt→0s(2+Δt)-s(2)Δt=limΔt→02(Δt)2+8ΔtΔt=limΔt→0(2Δt+8)=8.
4.解:由图可知,其次年婴儿体重的平均变化率为:
14.25-11.2524-12=0.25(千克/月),即其次年婴儿体重的月平均变化率为0.25(千克/月).
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-[-(-1)2+(-1)]=-(Δx)2+3Δx,
∴ΔyΔx=-(Δx)2+3ΔxΔx=-Δx+3.
(2)由于Δy=(x0+Δx)2-x02,所以ΔyΔx=(x0+Δx)2-x02Δx=2x0+Δx,所以y=x2在x=x0四周的平均变化率为2x0+Δx.
【答案】(1)-Δx+3
【小结】1.本题需利用平均变化率的定义来解决,但要留意Δx可正、可负、不行为零, Δy可正、可负、可为零.
2.求平均变化率可依据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤是:
(1)先计算函数值的转变量Δy=f(x1)-f(x0).
(2)再计算自变量的转变量Δx=x1-x0.
(3)得平均变化率ΔyΔx=f(x1)-f(x0)x1-x0.
　　探究二:【解析】当t=1时,s=3t2+2,
Δs=s(t+Δt)-s(t)=3(1+Δt)2+2-(3+2)=6Δt+3(Δt)2,
∴v=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→06Δt+3(Δt)2Δt=limΔt→0(6+3Δt)=6.
当t=4时,s=29+3(t-3)2,
Δs=s(t+Δt)-s(t)=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,
∴v=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→03(Δt)2+6ΔtΔt=limΔt→0(3Δt+6)=6.
∴物体在t=1和t=4时的瞬时速度分别是6和6.
【小结】1.“limΔt→0(6+3Δt)=6”中,“Δt→0”指Δt趋近于零,即自变量的变化几乎为零.
2.求物体瞬时速度的步骤:
(1)设非匀速直线运动的规律s=s(t).
(2)求时间转变Δt时的位置转变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
(3)求平均速率v-=ΔsΔt.
(4)计算瞬时速率:当Δt→0时,ΔsΔt→v(常数).
　　探究三:【解析】∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,
∴割线PQ的斜率k=ΔyΔx=(Δx)3+3(Δx)2+3ΔxΔx=(Δx)2+3Δx+3.
设当Δx=0.1时割线的斜率为k1,
则k1=(0.1)2+3×0.1+3=3.31.
【小结】依据直线斜率的计算公式即可求解.
思维拓展应用
应用一:20+5Δx　由于Δy=5(2+Δx)2+6-5×22-6=20Δx+5(Δx)2,
所以平均变化率ΔyΔx=20+5Δx.
　　应用二:∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a×22-1=4aΔt+a(Δt)2,
∴ΔsΔt=4a+aΔt,limΔt→0ΔsΔt=4a,
即4a=8,∴a=2.
　　应用三:3+Δy=(2+Δx)2-3(2+Δx)+5=(Δx)2+Δx+3,
∴Δy=(Δx)2+Δx,
∴割线PQ的斜率kPQ=ΔyΔx=(Δx)2+ΔxΔx=Δx+1.
当Δx=0.01时,kPQ=1.01.
基础智能检测
1.A　由平均变化率的定义可知应选A.
2.D　由于Δx可正、可负不行为0,所以k1与k2大小关系不确定,应选D.　
3.(1)f(x0+Δx)-f(x0)　 (2) 6Δx+3(Δx)2　6+3Δx　6　6
4.解:(1)平均速度为
ΔsΔt=12g(t0+Δt)2-12gt02Δt=gt0+12gΔt.
(2)瞬时速度为
limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0(gt0+12gΔt)=gt0.
(3)由(1)得物体在t0=2 s到t1=2.1 s这段时间内的平均速度为
g×2+12g×0.1=4120g.
(4)由(3)得物体在t=2 s时的瞬时速度为g×2=2g.
全新视角拓展
解:当自变量x从0变到Δx时,函数的平均变化率为k1=sin Δx-sin0Δx=sin ΔxΔx.
当自变量从π2变到Δx+π2时,函数的平均变化率为k2=sin(π2+Δx)-sinπ2Δx=cos Δx-1Δx.
由于是在x=0和x=π2四周的平均变化率,可知Δx较小,但Δx既可为正,又可为负.
当Δx>0时,k1>0,k2<0,此时,k1>k2;
当Δx<0时,k1-k2=sin ΔxΔx-cos Δx-1Δx
=sin Δx-cos Δx+1Δx=2sin(Δx-π4)+1Δx,
∵Δx<0,∴Δx-π4<-π4,∴sin(Δx-π4)<-22.
从而有2sin(Δx-π4)<-1,即2sin(Δx-π4)+1<0.
∴k1-k2>0,即k1>k2.
综上可知,正弦函数y=sin x在x=0四周的平均变化率大于在x=π2四周的平均变化率.
以上数据说明:正弦函数y=sin x在x=0四周的变化率较大,图像比较陡峭,而在x=π2四周的变化率较小,图像比较平坦.