2021高考数学(文)一轮知能检测：第10章-第1节-分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx

第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

[全盘巩固]
1．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)
A．2 160 B．720 C．240 D．120
解析：选B　分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是(　　)
A．20 B．16 C．10 D．6
解析：选B　当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又由于a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．
3. (2022·汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同涂法的种数为(　　)

A．400 B．460 C．480 D．496
解析：选C　从A开头，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，则有6×5×4×(1＋3)＝480种不同涂法．
4．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)
A．9 B．14 C．15 D．21
解析：选B　∵P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q，∴x∈{y,1,2}．
∴当x＝2时，y＝3, 4,5,6,7,8,9，共有7种状况；
当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种状况．
共有7＋7＝14种状况．即这样的点的个数为14.
5．(2022·济南调研)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)
A．40 B．16 C．13 D．10
解析：选C　分两类状况争辩：
第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；
第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．
依据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．
6．(2022·杭州模拟)假如一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)
A．60 B．48 C．36 D．24
解析：选B　长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.
7．在平面直角坐标系内，点P(a，b)的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素，又点P到原点的距离|OP|≥5.则这样的点P的个数为________．
解析：依题意可知：
当a＝1时，b＝5,6两种状况；
当a＝2时，b＝5,6两种状况；
当a＝3时，b＝4,5,6三种状况；
当a＝4时，b＝3,4,5,6四种状况；
当a＝5或6，b各有6种状况．
所以共有2＋2＋3＋4＋6＋6＝23种状况．
答案：23
8．集合N＝{a，b，c}⊆{－5，－4，－2,1,4}，若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是________．
解析：依题意知，最多有10个集合N，其中对于不等式ax2＋bx＋c<0没有实数解的状况可转化为需要满足a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有2种状况，因此满足条件的集合N的个数是10－2＝8.
答案：8
9．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1，2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1第2步，再排a2，a4，a6，共有6种排法，故有5×6＝30种不同的排列方法．
答案：30
10．有六名同学报名参与三个智力竞赛项目，在下列状况下各有多少种不同的报名方法？(不愿定六名同学都能参与)
(1)每人恰好参与一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参与一项；
(3)每项限报一人，但每人参与的项目不限．
解：(1)每人都可以从这三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，依据分步乘法计数原理，可得共有36＝729种不同的报名方法．
(2)每项限报一人，且每人至多参与一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，其次个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，依据分步乘法计数原理，可得共有6×5×4＝120种不同的报名方法．
(3)每人参与的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，依据分步乘法计数原理，可得共有63＝216种不同的报名方法．
11．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣扬广告、一个公益广告，要求最终播放的不能是商业广告，且宣扬广告与公益广告不能连续播放，两个宣扬广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
解：用1,2,3,4,5,6表示广告的播放挨次，则完成这件事有三类方法．
第1类：宣扬广告与公益广告的播放挨次是2,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第2类：宣扬广告与公益广告的播放挨次是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第3类：宣扬广告与公益广告的播放挨次是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
由分类加法计数原理得：6个广告共有36＋36＋36＝108种不同的播放方式．
12. 某城市在中心广场建筑一个花圃，花圃分为6个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种(用数字作答)．

解：法一：从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求解．
(1)2与5同色，则3,6也同色或4,6也同色，所以共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；
(2)3与5同色，则2,4或4, 6同色，所以共有4×3×2×2×1＝48种栽种方法；
(3)2与4且3与6同色，所以共有4×3×2×1＝24种栽种方法．
所以共有48＋48＋24＝120种栽种方法．
法二：记颜色为A，B，C，D四色，先支配1,2, 3有4×3×2种不同的栽法，不妨设1,2,3已分别栽种A，B，C，则4,5,6的栽种方法共5种，由以下树状图清楚可见．

依据分步乘法计数原理，共有4×3×2×5＝120种不同的栽种方法．
[冲击名校]
1．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法的种数为(　　)
A．50 B．49 C．48 D．47
解析：选B　依据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A，B中没有相同的元素，且都不是空集，按A中元素分状况争辩，分别计算其选法种数，进而相加即可．
第1类，当A中最大的数是1时，A是{1}，B可以是{2,3,4,5}的非空子集，即有24－1＝15种选法；
第2类，当A中最大的数是2时，A可以是{2}或{1,2}，B可以是{3,4,5}的非空子集，即有2×(23－1)＝14种选法；
第3类，当A中最大的数是3时，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，B可以是{4,5}的非空子集，即有4×(22－1)＝12种选法；
第4类，当A中最大的数是4时，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}， {2,3,4}，{1,2,3,4}，B是{5}，即有8×1＝8种选法．
综上可知，共有15＋14＋12＋8＝49种不同的选择方法．
2．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简洁的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简洁的”有序对的个数为________．
解析：第1步，1＝1＋0，或1＝0＋1，共2种组合方式；
第2步，9＝0＋9，或9＝1＋8，或9＝2＋7，或9＝3＋6，…，或9＝9＋0，共10种组合方式；
第3步，4＝0＋4，或4＝1＋3，或4＝2＋2，或4＝3＋1，或4＝4＋0，共5种组合方式；
第4步，2＝0＋2，或2＝1＋1，或2＝2＋0，共3种组合方式．
依据分步乘法计数原理，值为1 942的“简洁的”有序对的个数为2×10×5×3＝300.
答案：300