2022届高三数学一轮总复习基础练习：第五章-数列5-5-.docx

第五节　数列的综合应用
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A. B.
C. D.或
解析　设{an}的公比为q(q＞0)，由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，解得q＝.而＝q＝.
答案　B
2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分别，则这一过程需要的时间是(　　)
A．10秒钟 B．13秒钟
C．15秒钟 D．20秒钟
解析　设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…an则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式有na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.
答案　C
3．已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a＋2a10＝0，首项为的等比数列{bn}的前n项和为Sn，若b6＝a6，则S6＝(　　)
A．16 B.
C. D.
解析　由2a2－a＋2a10＝0，∴4a6＝a.
∵a6≠0，∴a6＝4.∴b6＝4.
又∵{bn}的首项b1＝，
∴q5＝＝32.∴q＝2.
∴S6＝＝.
答案　C
4．(2022·湖北八校二联)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列{xn}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x2 013＋x2 014的值为(　　)
A．7 549 B．7 545
C．7 539 D．7 535
解析　由已知表格列出点(xn，xn＋1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，…，即x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1，…，数列{xn}是周期数列，周期为4,2 014＝4×503＋2，所以x1＋x2＋…＋x2 014＝503×(1＋3＋5＋6)＋1＋3＝7 549.
答案　A
5．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为(　　)
A．2n－1 B．n
C．2n－1 D.n－1
解析　由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，
两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，
∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝n－1.
答案　D
6．将石子摆成如图的梯形外形，称数列5,9,14,20，…为梯形数，依据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a2 012－5＝(　　)

A．2 018×2 012 B．2 018×2 011
C．1 009×2 012 D．1 009×2 011
解析　结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋n＋2.所以a2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋＝2 011×1 009.故选D.
答案　D
二、填空题
7．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，则该数列前26项的和为________．
解析　由于a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，
所以a3＝－1，a4＝，a5＝1，a6＝－2，…，
所以{an}是周期为4的数列，
故S26＝6×＋1－2＝－10.
答案　－10
8．植树节某班20名同学在一段直线大路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开头时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑动身前来领取树苗来回所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
解析　当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(削减了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(削减了680米)；依次进行，明显当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．
答案　2 000
9．(2022·上海六校二模)已知数列{an}的通项公式为an＝25－n，数列{bn}的通项公式为bn＝n＋k，设cn＝若在数列{cn}中，c5≤cn对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析　数列cn是取an和bn中的最大值，据题意c5是数列{cn}的最小项，由于函数y＝25－n是减函数，函数y＝n＋k是增函数，所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4，即5＋k≤25－5≤6＋k或25－5≤5＋k≤25－4，解得－5≤k≤－4或－4≤k≤－3，所以－5≤k≤－3.
答案　[－5，－3]
三、解答题
10．(2022·济南高考模拟考试)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝(n∈N*)，求证：cn＋1＝2(Sn－Sn－1)，
∴an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)，
又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，∴an＝3n－1.
∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，∴bn＝3n－6.
(2)证明：∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，
∴cn＝＝，∴cn＋1－cn＝<0，
∴cn＋1bn，n∈N*，求a的取值范围．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由于cn＝(－1)nSn，
所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4＋…＋S20＝330，则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330，
即10(3＋d)＋×2d＝330，解得d＝3，
所以an＝3＋3(n－1)＝3n.
(2)由(1)知bn＝2(a－2)3n－2＋2n－1，
bn＋1－bn＝2(a－2)3n－1＋2n－[2(a－2)3n－2＋2n－1]＝4(a－2)3n－2＋2n－1
＝4·3n－2.
由bn＋1≤bn⇔(a－2)＋n－2≤0
⇔a≤2－n－2，
由于2－n－2随着n的增大而增大，
所以n＝1时，2－n－2取得最小值.
所以a≤.

1．已知点(1，)是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{}的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？
解　(1)由于f(1)＝a＝，所以f(x)＝x.
a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝f(2)－f(1)＝2－＝－，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝f(3)－f(2)＝3－2＝－.
又数列{an}是等比数列，设其公比为q，所以a1＝＝＝－＝－c，所以c＝1.
又公比q＝＝，
所以an＝－n－1＝－2n(n∈N*)．
由于Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝＋(n≥2)，
又bn>0，>0，所以－＝1.
所以数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，＝1＋(n－1)×1＝n，故Sn＝n2.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式，所以bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＝＝.
由Tn＝>，得n>，所以满足Tn>的最小正整数n为112.
2．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)若Sn＝(a1－1)·(a2－1)＋(a2－1)·(a3－1)＋…＋(an－1)·(an＋1－1)，是否存在a，b∈Z，使得a≤Sn≤b恒成立？若存在，求出a的最大值与b的最小值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意，知当n≥2时，bn－1＝，bn＝＝＝，
所以bn－bn－1＝－＝1(n∈N*，n≥2)．
所以{bn}是首项为b1＝＝－，公差为1的等差数列．
(2)由(1)，知bn＝n－.依题意，有Sn＝(a1－1)·(a2－1)＋(a2－1)·(a3－1)＋…＋(an－1)·(an＋1－1)＝·＋·＋…＋·＝－＝－－.
设函数y＝，当x>时，y>0，y′<0，则函数在上为减函数，
故当n＝3时，Sn＝－－取最小值－.
而函数y＝在x<时，y<0，
y′＝－<0，函数在上也为减函数，
故当n＝2时，Sn取得最大值.
故a的最大值为－3，b的最小值为2.