2022届高三数学一轮总复习基础练习：第七章-立体几何7-2-.docx

其次节　空间几何体的表面积和体积
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为(　　)
A．48(3＋) B．48(3＋2)
C．24(＋) D．144
解析　S底＝6××42＝24，S侧＝6×4×6＝144，∴S全＝S侧＋2S底＝144＋48＝48(3＋)．
答案　A
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．3
解析　设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
答案　A
3．(2022·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．8－2π B．8－π
C．8－ D．8－
解析　该几何体由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱所得．所以其体积为V＝23－2×π·12×2＝8－π，故选B.
答案　B
4．(2022·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析　由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱，该直三棱柱的底面是两直角边长分别为6和8的直角三角形，其高为12.要得到最大球，则球与三个侧面相切，从而球的半径应等于底面直角三角形的内切圆的半径，故半径r＝＝2，其中S为底面直角三角形的面积．故选B.
答案　B
5．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2
C. D．3

解析　如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
答案　C
6．已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是(　　)

A. B．2π
C. D．3π
解析　由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为＝，则AB＝3，过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S＝π×2＝，选C.
答案　C
二、填空题
7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．

解析　易知原几何体是底面半径为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积V＝××(π×12)×2＝.
答案　
8．(2022·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
解析　设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1，h1，r2，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，＝.又＝＝，所以＝，则＝＝·＝＝.
答案　
9．(2022·山东卷)三棱锥P—ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D—ABE的体积为V1，P—ABC的体积为V2，则＝________.
解析　

如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，∴＝＝.
答案　
三、解答题
10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.

解　(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V＝1×1×＝.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．
S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.

11．(2022·福建卷)如图，三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A—MBC的体积．
解　方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，
∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.
∵M是AD的中点，∴S△ABM＝S△ABD＝.
由(1)知，CD⊥平面ABD，
∴三棱锥C—ABM的高h＝CD＝1，
因此三棱锥A—MBC的体积
VA—MBC＝VC—ABM＝S△ABM·h＝.
方法二：(1)同方法一．

(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，
又平面ABD∩平面BCD＝BD，
如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，
且MN＝AB＝.
又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.
∴三棱锥A—MBC的体积VA—MBC＝VA—BCD－VM—BCD＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝.

1．(2022·湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年月在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析　圆锥的体积V＝π2×h×≈L2h，
所以π≈.
答案　B

2．如图，正方体ABCD—A1B1C1
D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1—EDF的体积为________．
解析　三棱锥D1—EDF的体积即为三棱锥F—DD1E的体积．由于E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD—A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF—DD1E＝××1＝.
答案　

3．如图，在三棱锥D—ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥D—ABC的体积的最大值是________．
解析　

由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，由于棱AD与棱BC相互垂直．
设d为AD到BC的距离．
则VD—ABC＝AD·BC×d××＝2d，
当d最大时，VD—ABC体积最大，
∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，
∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，d有最大值＝.此时V＝2.

答案　2
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．
解　(1)连接OM，则OM⊥AB，

设OM＝r，则OB＝－r，在△BMO中，sin∠MBO＝＝＝，∴r＝.∴S＝4πr2＝π.
(2)∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴AC＝1.∴V＝V圆锥－V球＝π×AC2×BC－πr3＝π×12×－π3＝π.