1、
1.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q等于( ).
A.1 B.0 C.1或0 D.-1
【解析】∵Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,∴an为定值,即数列{an}为常数列,∴q=1.
【答案】A
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则的值为( ).
A. B. C. D.
【解析】S4==15a1,a3=a1q2=4a1,所以==.
【答案】A
3.若等比数列的前n项和Sn=k·3n+1,则k的值为 .
【解析】(法一)观看等比数列求和公式,易知Sn==-·qn.
2、又∵Sn=k·3n+1,∴k=-1.
(法二)当n=1时,a1=S1=3k-1,
当n>1时,an=Sn-Sn-1=2k·3n-1.
∵{an}为等比数列,∴3k+1=2k,
∴k=-1.
【答案】-1
4.设等比数列{an}的公比q<1,前n项和为Sn.已知a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=,
则
解得a1=2,q=-1或a1=,q=-2.
则通项公式为an=2×(-1)n-1或an=×(-2)n-1.
5.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a
3、9)的值是( ).
A.- B.-5 C.5 D.
【解析】由log3an+1=log3an+1(n∈N*),得log3an+1-log3an=1,即log3=1,解得=3,所以数列{an}是公比为3的等比数列,所以a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3=9×33=35,所以lo(a5+a7+a9)=lo35=-log335=-5.
【答案】B
6.已知等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn.若=,则a2等于( ).
A. B.- C.2 D.
【解析】若公比q=1,则==2≠,故q≠1,
所以S5=,S10=,
两式相除得==,
化简得1+q5=,即q5=
4、解得q=-,
所以a2=a1q=(-1)×(-)=.
【答案】D
7.设等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn.若a1=1,a3=4,Sk=63,则k= .
【解析】设公比为q,由于an>0,所以q>0,则a3=4=a1q2=q2,所以q=2,又Sk=63=,即2k=64,所以k=6.
【答案】6
8.已知数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前n项和为Sn,证明:Sn<128(n=1,2,3,…).
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
由a7=a1q
5、6=1得a1=q-6,
从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.
由于a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1),
即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1(q-2+1)=2(q-2+1),
所以q=,故an=a1qn-1=q-6·qn-1=64()n-1.
(2)Sn===128[1-()n]<128.
9.设数列{an}的前n项的和为Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n=1,2,…),则log2S4= .
【解析】由于an+1=Sn+1-Sn=3Sn,所以Sn+1=4Sn,所以数列{Sn}是以S1=a
6、1=1,q=4的等比数列,所以S4=43,所以log2S4=log243=6.
【答案】6
10.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=
(1)设bn=a2n+1+4n-2,n∈N*,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.
(2)求数列{an}的前100项中全部奇数项的和S.
【解析】(1)∵bn+1=a2n+3+4(n+1)-2
=a2n+2-2(2n+2)+4(n+1)-2
=a2n+2-2=a2n+1+(2n+1)-2
=(a2n+1+4n-2)=bn,
∴数列{bn}是公比为的等比数列.
∵b1=a3+4-2=-,∴bn=-()n.
(2)由(1)得a2n+1=-()n-4n+2,
∴S=a1+a3+…+a99=1-[+()2+()3+…+()49]-4(1+2+…+49)+2×49=()49-4802.
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