1、典例(2021启东中学)已知各项均为正整数的数列an满足an1),使得a1+a2+ak=a1a2ak,an+k=k+an(nN*).(1) 当k=3,a1a2a3=6时,求数列an的前36项的和S36;(2) 求数列an的通项公式;(3) 若数列bn满足bnbn+1=-21,且b1=192,其前n项积为Tn,试问:n为何值时,Tn取得最大值?【思维引导】【规范解答】(1) 当k=3,a1a2a3=6,则a1+a2+a3=6.设cn=a3n-2+a3n-1+a3n,由an+3=3+an,得cn+1=cn+9,所以数列cn是公差为9的等差数列,故S36=c1+c2+c12=126+9=666. 4
2、分(2) 若k=2时,a1+a2=a1a2,又a1a2,所以a1a22a2,所以a1=1,此时1+a2=a2,冲突.6分若k=3时,a1+a2+a3=a1a2a3,所以a1a2a33a3,a1a23,所以a1=1,a2=2,a3=3,满足题意.8分若k4时,a1+a2+ak=a1a2ak,所以a1a2akkak,即a1a2ak-112(k-1)2k-2k,所以k4不满足题意.10分所以a1=1,a2=2,a3=3,且an+3=3+an,所以a3n-2=a1+3(n-1)=3n-2,a3n-1=a2+3(n-1)=3n-1,a3n=a3+3(n-1)=3n,故an=n.12分(3) 由于bnbn+1=-21,所以bn+1bn+2=-21,所以=,所以,都是以为公比的等比数列,所以bn= 14分令1,即1,1,1,1,1,1,从而;当n为偶数时,1,1,1,1,1,从而.留意到T120,T130,且T13=b13T12=3T12T12,所以数列的前n项积Tn最大时,n的值为13. 16分【点评】 数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等学问相互联系,优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必需对隐蔽在数列概念和方法中的数学思想有所了解.温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第3536页.
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