2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题六-第二讲-数列的综合应用22-【完善提高】.docx

典例　(2021·启东中学)已知各项均为正整数的数列{an}满足an<an+1,且存在正整数k(k>1),使得a1+a2+…+ak=a1·a2·…·ak,an+k=k+an(n∈N*).
(1) 当k=3,a1·a2·a3=6时,求数列{an}的前36项的和S36;
(2) 求数列{an}的通项公式;
(3) 若数列{bn}满足bnbn+1=-21·,且b1=192,其前n项积为Tn,试问:n为何值时,Tn取得最大值?
【思维引导】

【规范解答】

(1) 当k=3,a1·a2·a3=6,则a1+a2+a3=6.
设cn=a3n-2+a3n-1+a3n,由an+3=3+an,
得cn+1=cn+9,所以数列{cn}是公差为9的等差数列,

故S36=c1+c2+…+c12=12×6+×9=666. 4分
(2) 若k=2时,a1+a2=a1·a2,又a1<a2,
所以a1·a2<2a2,所以a1=1,此时1+a2=a2,冲突.6分

若k=3时,a1+a2+a3=a1·a2·a3,所以a1·a2·a3<3a3,a1·a2<3,
所以a1=1,a2=2,a3=3,满足题意.8分
若k≥4时,a1+a2+…+ak=a1·a2·…·ak,
所以a1·a2·…·ak<kak,即a1·a2·…·ak-1<k,
又由于a1·a2·…·ak-1>1×2×…×(k-1)≥2k-2>k,
所以k≥4不满足题意.10分
所以a1=1,a2=2,a3=3,且an+3=3+an,
所以a3n-2=a1+3(n-1)=3n-2,a3n-1=a2+3(n-1)=3n-1,a3n=a3+3(n-1)=3n,
故an=n.12分

(3) 由于bn·bn+1=-21·,所以bn+1·bn+2=-21·,
所以=,所以,都是以为公比的等比数列,
所以bn= 14分

令<1,即<1,<,所以n≥13.
当n为奇数时,>1,>1,…,>1,<1,<1,从而<<…<,>>…;
当n为偶数时,>1,>1,…,>1,<1,<1,
从而<<…<,>>….
留意到T12>0,T13>0,且T13=b13·T12=3T12>T12,
所以数列的前n项积Tn最大时,n的值为13. 16分
【点评】 数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等学问相互联系,优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必需对隐蔽在数列概念和方法中的数学思想有所了解.

温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第3536页.