2021高考数学(文)一轮知能检测：第1章-第2节-命题及其关系、充分条件与必要条件.docx

其次节　命题及其关系、充分条件与必要条件

[全盘巩固]
1．“若b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”，其否命题是　　(　　)
A．若b2－4ac＞0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根
B．若b2－4ac＞0，则ax2＋bx＋c＝0有实根
C．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0有实根
D．若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根
解析：选C　由原命题与否命题的关系可知，“若b2－4ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0没有实根”的否命题是“若b2－4ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0有实根”．
2．(2022·杭州模拟)设a∈R，则“a＝－1”是“直线l1：2x＋ay－3＝0与直线l2：x＋2y－a＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　当a＝0时，易知两直线不垂直；当a≠0时，两直线垂直等价于·＝－1⇔a＝－1，故a＝－1是两直线垂直的充要条件．
3．(2022·黄冈模拟)与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是(　　)
A．若a，b，c成等比数列，则b2≠ac
B．若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列
解析：选D　由于原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．
4．(2022·金华模拟)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0＜a＜1.由于“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a＞0，即a＜2.又由于a＞0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0＜a＜2且a≠1.明显p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．
5．(2022·南昌模拟)下列选项中正确的是(　　)
A．若x＞0且x≠1，则ln x＋≥2
B．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件
C．命题“全部素数都是奇数”的否定为“全部素数都是偶数”
D．若命题p为真命题，则其否命题为假命题
解析：选B　当0＜x＜1时，ln x＜0，此时ln x＋≤－2，A错；当|an＋1|＞an时，{an}不愿定是递增数列，但若{an}是递增数列，则必有an＜an＋1≤|an＋1|，B对；全称命题的否定为特称命题，C错；若命题p为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D错．
6．命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0都成立”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4　 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
解析：选C　命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．
7．在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________.
解析：原命题p明显是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，这是假命题，由于当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2.
答案：2
8．下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题；
③在△ABC中，“A＞30°”是“sin A＞”的充分不必要条件；
④“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．
其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．
解析：①原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，①是真命题；“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题是“若x2＋x－6＜0，则x≤2”，②也是真命题；在△ABC中，“A＞30°”是“sin A＞”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝(k∈Z)”，④是假命题．
答案：①②
9．已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
由|x－1|＜1，得0＜x＜2，
∴β可看作集合B＝{x|0＜x＜2}．
又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.
答案：(－∞，0]
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出否命题，推断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，推断其真假，并证明你的结论．
解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

该命题是真命题，证明如下：
∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，
∴否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.
真命题，可证明原命题为真来证明它．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
11．(2022·温州模拟)已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝2＋，
∵x∈，∴≤y≤2，
∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤，
解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
12．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.
充分性：若a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，
∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－(a＋c) x＋c＝0，
∴(ax－c)(x－1)＝0，
∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，
∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[冲击名校]
1．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但是y＝f(x)不愿定为奇函数，如取函数f(x)＝x2，则函数y＝|x2|的图象关于y轴对称，但函数f(x)＝x2是偶函数不是奇函数，即“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”⇒/ “y＝f(x)是奇函数”；若y＝f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，即“y＝f(x)是奇函数”⇒“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”，故应选B.
2．已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是(　　)
A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点
B．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数
C．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β
D．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA
解析：选D　对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)＞0，从而可得m＜－2或m＞6.所以p是q的必要不充分条件；
对于B，由＝1⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；
对于C，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；
反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，
即A∩B＝A.所以p⇔q.
综上所述，p是q的充分必要条件的是D.
[高频滚动]
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|2x＞8}，那么集合 (∁UA)∩B＝(　　)
A．{x|3＜x＜4} B．{x|x＞4}
C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x≤4}
解析：选C　A＝{x|x2－3x－4＞0}＝{x|x＜－1或x＞4}，所以∁UA＝{x|－1≤x≤4}，又B＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}，所以(∁UA)∩B＝{x|3＜x≤4}．
2．对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝，当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝，设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．
解析：(1)当a，b都为偶数或都为奇数时，＝6⇒a＋b＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a，b)有2×5＋1＝11个．
(2)当a，b为一奇一偶时，＝6⇒ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有2×3＝6个．
综上可知，集合A中的元素共有17个．
答案：17