【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第6节-空间直角坐标系(文).docx

第八章　第六节

一、选择题
1．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是(　　)
A．(0,8,0)　　　　　 B．(0,2,0)
C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)
[答案]　C
[解析]　点P在y轴上，可设为(0，y,0)，
由于|PA|＝7，A(2,5，－6)，
所以＝7，解得y＝2或8.
2．在空间直角坐标系中，全部点P(x,1,2)(x∈R)的集合表示(　　)
A．一条直线
B．平行于平面xOy的平面
C．平行于平面xOz的平面
D．两条直线
[答案]　A
[解析]　点P的y坐标与z坐标不变，只有x坐标发生变化，在空间中表示一条直线．
3．(2022·郑州模拟)A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是(　　)
A．(，1，－2) B．(，2,3)
C．(－12,3,5) D．(，3,2)
[答案]　B
[解析]　设中点坐标为(x，y，z)，
则x＝＝，y＝＝2，z＝＝3，
即中点坐标为(，2,3)．
4．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下列四条叙述：
①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，－y，－z)；
③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；
④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．
其中正确的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案]　C
[解析]　①②③不正确；类比平面直角坐标系中的对称问题，易知④正确．
5．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A．(－1,2,3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2,3) D．(－1,2，－3)
[答案]　B
[解析]　关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标、竖坐标分别互为相反数．
6．点M(x，y，z)在坐标平面xOy内的射影为M1，M1在坐标平面yOz内的射影为M2，M2在坐标平面zOx内的射影的坐标为(　　)
A．(－x，－y，－z) B．(x，y，z)
C．(0,0,0) D．
[答案]　C
[解析]　点M(x，y，z)在平面xOy内的射影为M1(x，y,0)，M1在平面yOz内的射影为M2(0，y,0)，M2在平面xOz内的射影为原点O(0,0,0)．
二、填空题
7．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________．
[答案]　或
[解析]　设点P的坐标为(0,0，z)，
由|OP|＝1得＝|z|＝1，故z＝±1.
当z＝1时，点P的坐标为(0,0,1)，
|PA|＝＝；
当z＝－1时，点P的坐标为(0,0，－1)，
|PA|＝＝.
8．在z轴上求一点A，使它到点B(1,1,2)的距离为3，则A点的坐标是______________．
[答案]　(0,0,6)或(0,0，－2)
[解析]　设A(0,0，a)，
则|AB|＝＝3，
即(a－2)2＝16，∴a＝6或a＝－2，
∴A(0,0,6)或(0,0，－2)．
9．已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________．
[答案]　
[解析]　求线段AB在坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，
A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)，
B(－2，4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)，
故|A′B′|＝＝.
三、解答题
10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．
[解析]　(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
由于M在y轴上，所以可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得＝，明显，此式对任意y∈R恒成立，也就是说y轴上的全部点都满足|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，
所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
由于|MA|＝＝，
|AB|＝＝，
所以＝，解得y＝±.
故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0).

一、选择题
1．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于xOy面对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为(　　)
A．2 B．4
C．2 D．2
[答案]　B
[解析]　点C的坐标为(1,2,1)，点B的坐标为(1，－2,1)，所以|BC|＝＝4.
2．已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在z轴上，且到A、B两点间的距离相等，则M的坐标为(　　)
A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)
C．(0,0，－3) D．(0,0,3)
[答案]　C
[解析]　设点M的坐标为(0,0，z)，则12＋02＋(2－z)2＝12＋32＋(1－z)2，
∴z＝－3，∴点M的坐标为(0,0，－3)．
二、填空题
3．已知两点M(3cosα，3sinα，1)，N(2cosβ，2sinβ，1)，则||的取值范围是____________．
[答案]　[1,5]
[解析]　||2＝(3cosα－2cosβ)2＋(3sinα－2sinβ)2
＝13－12(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝13－12cos(α－β)，
则1≤||2≤25，∴1≤||≤5.
4．已知空间中的四个点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)．则三棱锥O—ABC的体积是________．
[答案]　
[解析]　如图，由题设知，O，A，B，C为一正方体的四个顶点，且该正方体的棱长为1，其中VO—ABC＝V正方体－4VD－ABC＝1－＝.
三、解答题
5．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P坐标．
[解析]　∵P在x轴上，∴设P点坐标为(x,0,0)，
∵|PP1|＝2|PP2|，
∴
＝2
∴x＝±1，∴P点为1,0,0)和(－1,0,0)．
6.如图所示，在棱长为2的正方体OABC－O1A1B1C1的对角线O1B上有一点P，棱B1C1上有一点Q.
(1)当Q为B1C1的中点，点P在对角线O1B上运动时，试求|PQ|的最小值；
(2)当Q在B1C1上运动，点P在O1B上运动时，试求|PQ|的最小值．
[解析]　(1)Q为B1C1的中点，所以Q(1,2,2)，P在xOy坐标平面上的射影落在线段OB上，在yOz坐标平面上的射影落在线段O1C上，
∴P的坐标(x，y，z)满足，
设P＝(x，x,2－x)，则
|PQ|＝
＝＝ .
当且仅当x＝1，即P(1,1,1)时，|PQ|有最小值.
(2)由(1)和题意得，设P(x1，x1,2－x1)，Q(x2,2,2)，则|PQ|＝
＝
当且仅当，即时，|PQ|有最小值，
|PQ|的最小值为.