椭圆同步练习1.doc

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§2.2　椭　圆

2.2.1　椭圆的标准方程

课时目标　1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程．

椭圆的标准方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为______________ (a>b>0)，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．
注：(1)以上方程中a，b的大小为a>b>0，其中c2＝__________；
(2)在＋＝1和＋＝1两个方程中都有a>b>0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母的大小即可．例如椭圆＋＝1 (m>0，n>0，m≠n)，当m>n时表示焦点在______轴上的椭圆；当m椭圆．

一、填空题
1．设F1，F2为定点，F1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝6，则动点M的轨迹是________．
2．椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．
3．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为
________________________________________________________________________．
4．设α∈，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则α的取值范围为
________．
5．方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．
6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．
7．椭圆E：＋＝1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．
8．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若PF1＝4，则PF2＝______，∠F1PF2的大小为______．
二、解答题
9．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点.

10.已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且PM＝PA，求动点P的轨迹方程．

能力提升
12.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
12.

如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．

1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F1F2时轨迹才是椭圆，如果2a＝F1F2，轨迹是线段F1F2，如果2ab>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．

§2.2　椭　圆
2．2.1　椭圆的标准方程
知识梳理
＋＝1　F1(－c，0)，F2(c,0)　2c　＋＝1
(1)a2－b2　(2)x　y
作业设计
1．线段
解析　∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，∴动点M的轨迹是线段．
2．16
解析　由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知AF1＋AF2＝2a＝8，
BF1＋BF2＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.
3．椭圆或线段或无轨迹
解析　当2a>F1F2时，点M的轨迹是椭圆，当2a＝F1F2时，点M的轨迹是线段，
当2acos α>0，
又因为α∈，所以<α<.
5.
解析　据题意，
解之得0x轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．
∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．
由椭圆的定义知，2a＝ ＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．解　∵PM＝PA，PM＋PO1＝4，
∴PO1＋PA＝4，又∵O1A＝2<4，
∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，
∴c＝，a＝2，b＝1，
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
11．6
解析　由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴·＝x＋x0＋3(1－)
＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2，
∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值为6.
12.

解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则BD＋CE＝30.
由重心性质可知GB＋GC
＝(BD＋CE)＝20.
∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．
∴2c＝BC＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，
b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1 (x≠±10)．
去掉(10,0)、(－10,0)两点．
又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为＋＝1.
即＋＝1 (x≠±30)．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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