1、
梯形常用辅助线例析
河南 李丰先
由于梯形两腰具有不平行性的特殊性，所以在解决梯形有关问题时，常常通过作辅助线的方法将其分割为三角形、平行四边形、矩形等，从而把梯形问题转化为较为简单的问题。梯形常用的辅助线做法有平移一腰、平移一条对角线、作高、延长两腰等。如图
例1 如图⑴所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC
⑴试说明AB=AD
⑵若AD=2，∠C=600求梯形ABCD的周长
解：⑴∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
⑵过D作DE∥AB交BC于E
2、∵AD∥BC,AB=CD, ∴∠ABC=∠C=600
∵DE∥AB, ∴∠DEC=∠ABC=600
∴∠DEC=∠C=600
∴△DEC是等边三角形，故EC=CD= DE
∵AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形，
由⑴知AB=AD
∴四边形ABED是菱形，∴AB= BE = DE = AD =2
∴EC=CD= DE =2
∴梯形ABCD的周长= AD+DC+BC+AB=AD+DC+CE+EB+AB=10
点拨：本题通过平移一腰，将梯形切割为一个平行四边形（菱形）和一个等边三角形，这是一种常用的方法，是梯形、平行四边形、三角形的综合。
例2如图⑵铁路
3、基横断面为等腰梯形ABCD，已知路基底宽AB=6m，斜坡BC与下底CD的夹角为450，路基高2m，求下底CD的宽
解：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
∴BF∥AE又∵AB∥CD
∴四边形ABFE为矩形，且AB=EF
∵四边形ABCD是等腰梯形 BC=AD
∴△BCF与△ADE重合
故CF=DE
又∵∠C=450故BF=CF=DE ∴CD=CF+EF+DE=2+6+2+10（m）
点拨：梯形的铁塔、梯形的路基、梯形的横断面都是现实生活中常见的形状，常常从
同一底的两个顶点向另一底作垂线，这样可以把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，使问题得以解决。
例3如图⑶
4、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD
对角线AC⊥BD，AD=4㎝，BC=10㎝求梯形ABCD的面积
解：过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC交BC于E
∵四边形ACFD是平行四边形 ∴DF=AC,CF=AD=4
∵AC⊥BD,AC∥DF
∴∠BDF=∠BOC=900
∵AC=BD ∴ BD=DF ∴ BF=BC+CF=14
∴DE=BF=7
∴S梯形ABCD=（4+10）×7=49（㎝2）
点拨：过梯形的一个顶点平移一条对角线，可以把梯形转化成平行四边形，从而使问题得到解决
例4 如图⑷，已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰AD的长为5，
5、求该等腰梯形的周长
解：过点F作MN∥AD交AB于M，交DC的延长线于N
∵MN∥AD，DN∥AM
∴四边形AMND为平行四边形，∴AD=MN，DN=AM
又∵CF=FB，∠N=∠FMB，∠B=∠FCN
∴△FMB与△FNC关于点F成中心对称
∴BM=CN,FM=FN
又∵ED=EA,且AD=MN
∴DE平行且等于FN
同理可得EF=AM=AB－MB
∴2EF=DC+CN+AB－MB=DC+AB
∴周长= DC+ AB+AD+BC=2EF+2AD=2（EF+AD）=22
点拨：EF是等腰梯形的中位线，即E、F分别是腰AD、BC的中点，作另一腰的平行线，就可以把梯形转化为平行四边形和三角形，使问题得以解决。
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