2015届高考数学第一轮基础巩固训练题5.doc

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第2讲　直线与圆
一、填空题
1.如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝________.

解析　由弦切角定理得，
∠MCA＝∠ABC，sin ∠ABC＝＝＝＝.
答案　
2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点．AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO＝________.

解析　∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.
由此得，∠ACO＝∠CAD，
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB.
∴∠CAO＝40°，∴∠ACO＝40°.
答案　40°
3.(2012·天津卷)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．

解析　因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝.
答案　
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.

解析　由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽
△ACB，所以BC∶AC＝CD∶CB，
又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.
答案　2
5.(2012·陕西卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.

解析　由题意知，AB＝6，AE＝1，
∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.
答案　5
6. (2012·广东卷)如图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.

解析　∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA＝∠ACB.
又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，
∴△ABD∽△ACB.∴＝
∴AB2＝AD·AC＝mn，
∴AB＝.
答案　
7.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为______．

解析　∵AC、AD分别是两圆的切线，
∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，

∴△ACB∽△DAB.
∴＝，
∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.
∴AB＝＝2(舍去负值)．
答案　2
8．(2013·湖南卷)如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．

解析　根据相交弦定理求出PC的长，过O作弦CD的垂线．
由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.
又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，
∴CD＝PC＋PD＝5.
过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，
∴OE＝＝＝.
答案　
9.(2013·重庆卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．

解析　在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，
∴AC＝10，BC＝10.
∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.
∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5.
由切割线定理得DC2＝DE·DB，
即(5)2＝15DE，
∴DE＝5.
答案　5
二、解答题
10.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.

(1)求证：OC∥AD；
(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．
(1)证明　∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝90°，
∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD.
(2)解　由(1)知OC∥AD且OC⊥DC，
∴AD⊥DC，即∠ADC＝90°，
连接BC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
又∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.
11.(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

(1)证明　如图，连接DE，交BC于点G.
由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.
又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)解　由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径为.
12.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，
延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)求证：FB2＝FA·FD；
(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．
(1)证明　因为AD平分∠EAC，
所以∠EAD＝∠DAC.
因为四边形AFBC内接于圆，
所以∠DAC＝∠FBC.
因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，
所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.
(2)证明　因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，
∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，
所以＝，所以FB2＝FA·FD.
(3)解　因为AB是圆的直径，
所以∠ACB＝90°，
又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，
∠DAC＝∠EAC＝60°，因为BC＝6，
所以AC＝BCtan∠ABC＝2，
所以AD＝＝4(cm)．
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