高二数学下册同步强化训练题11.doc

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专题3 三角函数与平面向量
第2讲 三角变换及解三角形
一、选择题
1．(2011·辽宁理，4)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵asinAsinB＋bcos2A＝a，
∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
sinB＝sinA，∴b＝a，∴＝.
2．(2011·福建理，3)若tanα＝3，则的值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案]　D
[解析]　由＝＝2tanα＝2×3＝6，故选D.
3．(2011·浙江理，6)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝(　　)
A. B. －
C. D. －
[答案]　C
[解析]　∵(＋α)－(－)＝α＋，
∴cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)
∵0<α<，－<β<0，
∴<＋α<，<－<.
又cos(＋α)＝，cos(－)＝，
∴sin(＋α)＝，sin(－)＝.
∴cos(α＋)＝×＋×＝，选C.
4．(2011·四川理，6)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[，π)
C．(0，] D．[，π)
[答案]　C
[解析]　∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，
∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，
由余弦定理得：cosA＝≥≥，
∴0b B．a<b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
[答案]　A
[解析]　∵∠C＝120°，c＝a，
∴在△ABC中，由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab
将c＝a代入上式得
2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2＝b2＋ab，
∴a2－b2＝ab>0，∴a>b.
7．(2011·天津理，6)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，

则sinC的值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　如图，根据条件，设BD＝2
在△ABC中，由正弦定理：
＝
在△ABD中，由余弦定理：cosA＝＝，
∴sinA＝
∴sinC＝＝＝＝＝，故选D.
8．(2011·浙江五校二次联考)若△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝(　　)
A．5 B．25
C. D．5
[答案]　A
[解析]　解法一：由S△ABC＝acsin45°＝2⇒c＝4，
再由余弦定理可得b＝5.
解法二：作三角形ABC中AB边上的高CD，
在Rt△BDC中求得高CD＝，结合面积求得
AB＝4，AD＝，从而b＝＝5.
二、填空题
9．(2011·江苏启东中学模拟)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于时，tanC＝________.
[答案]　－2
[解析]　S△ABC＝acsinB＝，
∴c＝4.由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝13，
∴cosC＝＝－，sinC＝，
∴tanC＝－＝－2.
10．(2010·山东理，15)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
[答案]　
[解析]　sinB＋cosB＝sin＝，
∵0的正半轴，若p(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－，则y＝________.
[答案]　－8
[解析]　|OP|＝，根据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，
又∵sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，
可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
(理)(2011·上海理，8)函数y＝sin(＋x)cos(－x)的最大值为________．
[答案]　
[解析]　∵y＝sin(＋x)cos(－x)
＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx
＝·＋sin2x＝(cos2x＋sin2x＋)＝sin(2x＋)＋，
故最大值为.
12．(2011·安徽理，14)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
[答案]　15
[解析]　设三角形的三边依次为a－4，a，a＋4，最大角为θ.由余弦定理得
(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°，
则a＝10，所以三边长为6,10,14，
S△ABC＝×6×10×sin120°＝15.
三、解答题
13．(文)(2011·江苏，15)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.
(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；
(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．
[解析]　(1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.
因为0＋2＋2＝5.
(2)∵cosC＝，∴sinC＝＝＝.∴sinA＝＝＝.
∵a)由cosA＝得sinA＝
则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，
代入cosB＋cosC＝得cosC＋sinC＝，从而得
sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝，cosφ＝　(0<φ<)
则C＋φ＝，于是sinC＝，
由正弦定理得c＝＝.
(理)(2011·江西理，17)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知sinC＋cosC＝1－sin
(1)求sinC的值
(2)若 a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值
[解析]　(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，
即sin(2cos＋1)＝2sin2
由sin≠0得2cos＋1＝2sin，
即sin－cos＝，
两边平方得：sinC＝.
(2)由sin－cos＝>0得<<，
即sA)－＝0.
所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因为A∈(0，π)，所以2A－∈.
故2A－＝，A＝.
(2)设角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.
而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，
当△ABC的面积取最大值时，b＝c.
又A＝，故此时△ABC为等边三角形．

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