高一数学下册暑假知识点梳理检测题28.doc

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第五十讲　古典概型与几何概型
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“One”，“World”，“One”，“Dream”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“One World One Dream”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：试验包含的基本事件的个数为12个，故排对的概率为，选A.
答案：A
2．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点，则△PBC的面积大于的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：如图，当BM＝BA时，△MBC的面积为，而当P在M、A之间运动时，△PBC的面积大于，而MA＝AB，则△PBC的面积大于的概率P＝＝.故选C.

答案：C
3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

解析：各选项中奖的概率依次为，，，，故选A.
答案：A
4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：随机从袋子中取2个小球的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，4,5)共有10种，其中数字之和为3或6的有(1,2)，(1,5)，(2,4)，∴数字之和为3或6的概率是P＝.
答案：D
5．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(　　)

A. B.
C. D.
解析：正方形的面积为4，由＝，知阴影区域的面积为，选B.
答案：B
6．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：从4张卡片中随机取2张共有6种取法，取得2张卡片上数字之和为奇数即{1,2}，{1,4}，{3,2}，{3,4}四种，故其概率为＝.故选C.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a、b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，则称“甲乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：数字a，b的所有取法有62＝36种，满足|a－b|≤1的取法有16种，所以其概率为P＝＝.
答案：
8．设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________.
解析：如图所示，△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧上时，弦DC>PD，
∴P(A)＝.

答案：
9．任取一个三位正整数n，则对数log2n是一个正整数的概率是________．
解析：∵26＝64,27＝128,28＝256,29＝512,210＝1024，
∴满足条件的正整数只有27,28,29三个，
∴所求的概率是P＝＝.
答案：
10．已知函数f(x)＝2ax2－bx＋1，若a是从区间[0,2]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递增的概率为________．
解析：令t＝ax2－bx＋1，函数f(x)在[1，＋∞)上递增，根据复合函数单调性的判断方法，则t＝ax2－bx＋1须在[1，＋∞)上递增，

∴－≤1，即2a≥b.
由题意得
画出图示得阴影部分面积．
∴概率为P＝＝.
答案：
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图，三个汉字可以看成是轴对称图形．

(1)请再写出2个可看成轴对称图形的汉字；
(2)小敏和小慧利用“土”“口”“木三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析，并写出构成的汉字进行说明．
解：(1)如：田、日等；
(2)这个游戏对小慧有利．
每次游戏时，所有可能出现的如果如下(列表)：
　　　第二张卡片
第一张卡片　　　
土
口
木
土
(土，土)
(土，口)
(土，木)
口
(口，土)
(口，口)
(口，木)
木
(木，土)
(木，口)
(木，木)
总共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏获胜的概率为，小慧获胜的概率为.所以这个游戏对小慧有利．
12．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：记事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，
所以所求的概率为
P(A)＝＝.
13．已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}．
(1)若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；
(2)若a，b∈R，求A∩B＝∅的概率．
解：(1)因为a，b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．
令函数f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，
则f′(x)＝a＋bln2·2x.
因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)>0，
即f(x)在[－1,0]上是单调递增函数．
f(x)在[－1,0]上的最小值为－a＋－1.
要使A∩B≠∅，只需－a＋－1<0，即2a－b＋2>0.
所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共7组．
所以A∩B≠∅的概率为.
(2)因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.

由(1)可知，要使A∩B＝∅；
只需f(x)min＝－a＋－1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足A∩B＝∅的(a，b)对应的区域是图中的阴影部分．
所以S阴影＝×1×＝，
所以A∩B＝∅的概率为P＝＝.

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