2015届高考文科数学第一轮备考训练题20.doc

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1．[2013·课标全国Ⅱ]已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则　　)
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D项．
答案：D
2．[2013·广东]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：A项中，m与n还可能平行或异面，故不正确；
B项中，m与n还可能异面，故不正确；
C项中，α与β还可能平行或相交，故不正确；
D项中，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α.
又n∥β，∴α⊥β.故选D项．
答案：D
3．[2013·山东]如图，四棱锥P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
解析：(1)证法一：取PA的中点H，连接EH，DH.
∵E为PB的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB.
又AB∥CD，CD＝AB，
∴EH∥CD，EH＝CD.

∵四边形DCEH是平行四边形，
∴CE∥DH.
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
∵CE∥平面PAD.

证法二：连接CF.
∵F为AB的中点，
∴AF＝AB.
又CD＝AB，
∴AF＝CD.
又AF∥CD，
∴四边形AFCD为平行四边形．
∵CF∥AD.
又CF⊄平面PAD，
∴CF∥平面PAD.
∵E，F分别为PB，AB的中点，
∴EF∥PA.
又EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
∵CF∩EF＝F，
故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF，
∴CE∥平面PAD.
(2)∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.
又AB⊥PA，∴AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，
∵AB⊥平面EFG.
又M，N分别为PD，PC的中点，
∴MN∥CD.
又AB∥CD，∴MN∥AB.
∵MN⊥平面EFG.
又MN⊂平面EMN.
∴平面EFG⊥平面EMN.
答案：证明略
4．[2013·浙江]如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．

(1)证明：BD⊥平面APC；
(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；
(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．
解析：(1)证明：设点O为AC，BD的交点．
由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．
∴O为AC的中点，BD⊥AC.
又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD.
∴BD⊥平面APC.

(2)连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．
由题意得OG＝PA＝.
在△ABC中，
AC＝＝2，
∴OC＝AC＝.
在直角△OCD中，OD＝＝2.
在直角△OGD中，tan∠OGD＝＝.
∴DG与平面APC所成的角的正切值为.
(3)连接OG.
∵PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG.
在Rt△PAC中，得PC＝.
∴GC＝＝.
从而PG＝，∴＝.
答案：(1)证明略；(2)；(3).

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