2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库62.doc

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第2讲 古典概型
一、填空题
1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
解析　分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率P＝＝.
答案　
2．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为________．
解析　试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件点P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝＝.
答案　
3．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为_．
解析　要及格必须答对2道或3道题，共CC＋C＝7(种)情形，故P＝＝.
答案　
4．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有一人是女生的概率是，则n＝________．
解析 三人中没有女生的概率为，
∴三人中至少有一人是女生的概率为1－.
由题意得1－＝，解得n＝4.
答案 n＝4
5．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是________．
解析 每个同学均可能在第二位走，故共有4种情况，而男同学有2个，故所求概率为P＝＝.
答案
6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________．
解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P＝＝.
答案
7．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是________．
解析 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于.
答案
8． 一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．
解析 基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为.
答案
9．连掷两次骰子分别得到点数m，n，向量a＝(m，n)，若b＝(－1,1)，△ABC中与a同向，与b反向，则∠ABC是钝角的概率是________．
解析　∵∠ABC是钝角，向量a＝m，n)，b＝(－1,1)夹角为锐角，∴n－m>0，m
11．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两数中至少有一个奇数的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率．
解 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．
(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，
所以P(B)＝1－＝；
即两数中至少有一个奇数的概率为.
(2)基本事件总数为36，点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C包含8个事件，所以P(C)＝＝.
即点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率为.
12．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解　(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率P＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为：

故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P2＝＝.
13．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
解　(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，
∴(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，
这6位同学成绩的方差
s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
∴标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，
恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，
所求的概率为＝0.4，
即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.
14．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．
解　(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Zm，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
4
9
P

所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.

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