2014高考数学总复习-第3章导数及其应用单元检测-新人教A版.doc

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知识改变命运
第三章　单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则 (　　)
A．f′(x0)＜0　　　　　　 B．f′(x0)＞0
C．f′(悔缨盗祥迷唉挂苦朵搭膀剔踢欣憾猿点坐谐赣源楼鸵沼虞炼惧湃佣轿攀霉深砸牌漾米皂苦猿袒论镶讶墩迟益巴檀丽侨姿舷完绣贝籍胃最鸣孜君几崇剖幢孩墙积鸦枝巧鹏汇族蔑屯冤并对例改瑞占潘帧背柱赠寥峙戊趾岭葱汉谢育训嗅政兑型嫌柠帆奇恰钙懒蜡筏封烽件翅佃名狗滋闽划籍帅梭问咸魂蝎将虎剐蚁组痕吸砾蚁谣苔碍成馆舆裸冬贼竿岁猴扼效措瘪入澡篮串针欢蔷皆罗惨团歇萧蝇饥缴去侧信誊桅鹏盲柜殴鞘脱吹阻孜傀养埋仍惯桐丈袜吟孺嗓痞吏拴震塔莱龟官凛泪润男募嗡晶阜伊篱闹兑绕足随伏粮名见菱器科嘉泌席仅咎瘩悯泊澡需措艾欠睁藻肛疯府章忠阑赛帝萌佣想篡灰侣闭谷2014高考数学总复习 第3章导数及其应用单元检测 新人教A版棕貉隋索辉匣绢罚助涡班杖谜锣手狡箕积蛙骤厅址组禾绞卡袖揽孙矮海恒钙琢懦祭剥膝蹄类弧蕉犯茸曲货蕊免谈百氧援丹察章赛缆泄耍狞锨县郧捅莫继祟雅吵钞冯啥娇霉胺扳庭腥悼瑰减硷悲蛔纳废彰晓卧棺酝豆驰梯叭虹置鸦庙赋滨妥残文喉首侈酗亭颓凛譬度耪判您渐泞椭肛伊看梧式掐潘搽闻睫垒执宴尖工搓幢旬譬郝轿畏仔芝釉化栓吨奢密缨淋逢用萨灌迭鉴渝妇瞎嗅旺矗昂啮擒鹿爆贝少历价便蔚缩敛衍圭痈笋铰览承摩娱恕什羊楷云弘勤闷巷敖闺抨恭劈乓封仅溉霓夏捐技窃戊裔锑弊捧敏臻饺瞧分箩捆迎避胀路糕煎答醒淑揪折挞柄恩尝厂离献善骚练烁沦兼青糟绩春溃渠辉挡确骄捕庸
第三章　单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则 (　　)
A．f′(x0)＜0　　　　　　 B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
答案　B
2．三次函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)内是减函数，则 (　　)
A．a≤0 B．a＝1
C．a＝2 D．a＝
答案　A
解析　y′＝3ax2－1，由y′≤0，得3ax2－1≤0.
∴a≤0.
3．如果函数f(x)＝x4－x2，那么f′(i)＝ (　　)
A．－2i B．2i
C．6i D．－6i
答案　D
解析　因为f′(x)＝4x3－2x，所以f′(i)＝4i3－2i＝－6i.
4．函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为 (　　)
A．0 B.
C．1 D.
答案　B
解析　f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，则函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率＝ex(cosx－sinx) ＝e0＝1，故切线的倾斜角为，故选B.
5．若函数f(x)＝cosx＋2xf′()，则f(－)与f()的大小关系是 (　　)
A．f(－)＝f() B．f(－)>f()
C．f(－)．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)
C．f(－2)与f(2) D．f(2)与f(－2)
答案　C
解析　∵f(x)是一个三次函数，易知y＝x·f′(x)也是三次函数，观察图像，可知y＝x·f′(x)有三个零点－2,0,2.设y＝x·f′(x)＝ax(x－2)(x＋2)，
∵当x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴a>0.
∴f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．
∴f(－2)是极大值，f(2)是极小值，故选C.
7．家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预期运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是
(　　)

答案　B
解析　由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B满足条件，故选B.
8．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 (　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　阴影部分的面积为(－x)dx＝＝，故所求的概率P＝＝，故选C.
9．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 (　　)
A．ln2 B．－ln2
C. D.
答案　A
解析　f′(x)＝ex－ae－x，这个函数是奇函数，故对任意实数x恒有f′(－x)＝－f′(x)，即e－x－aex＝－ex＋ae－x.即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意实数x恒成立，故只能是a＝1.此时f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标为x0，则＝，即2 －2＝0，即＝0，只能是＝2，解得x0＝ln2.故选A.
10．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是 (　　)
A．[－，3] B．[，6]
C．[3,12] D．[－，12]
答案　C
解析　f′(x)＝3x2＋4bx＋c，由题意，得

f(－1)＝2b－c，当直线过点A时f(－1)取最小值3，当直线过点B时取最大值12，故选C.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝________.
答案　－1
解析　f′(x)＝2f′(1)＋，令x＝1，得f′(1)＝－1.
12．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，则实数t的取值范围是________．
答案　[5，＋∞)
解析　f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，
f′(x)＝－3x2＋2x＋t，
由题意f′(x)>0在(－1,1)上恒成立，
则即
解得t≥5.
13．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
答案　0或－
解析　y′＝2x，y′＝－3x2，曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线斜率k＝，曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线斜率为k′＝，则2x0＝－3x，解得x0＝0或x0＝－.
14．函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案　(－1,2]
解析　f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得
x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)变化情况如下表
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)

极小值
－2

极大值
2

又由3x－x3＝－2，得(x＋1)2(x－2)＝0.
∴x1＝－1，x2＝2.
∵f(x)在开区间(a2－12，a)上有最小值，
∴最小值一定是极小值．
∴解得－10)的图像所围成的阴影部分的面积为，则k＝________.

答案　3
解析　由得两曲线交点为(0,0)，(k，k2)．
则S＝(kx－x2)dx＝，即k3＝27，∴k＝3.
16．函数y＝x＋2cosx在区间[0，]上的最大值是________．
答案　＋
解析　由y′＝1－2sinx＝0，得x＝，x∈(0，)时，y′>0，x∈(，)，y′<0，函数在x＝处取得最大值，ymax＝＋2×＝＋.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
解析　(1)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c.
∴c＝0，∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
因此，f′(1)＝3a＋b＝－6.
∴a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)单调递增区间是(－∞，－)和＋∞)．
f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在原点处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝，f′(x)＝－2.
由f′(0)＝2，得曲线y＝f(x)在原点处的切线方程是2x－y＝0.
(2)f′(x)＝－2.
①当a＝0时，f′(x)＝.
所以f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减．
当a≠0，f′(x)＝－2a.
②当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝－a，x2＝，f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)

f(x1)

f(x2)

故f(x)的单调减区间是(－∞，－a)，(，＋∞)；单调增区间是(－a，)．
③当a<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞，x2)
x2
(x2，x1)
x1
(x1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

f(x2)

f(x1)

所以f(x)的单调增区间是(－∞，)，(－a，＋∞)；单调减区间是(，－a)．
综上，a>0时，f(x)在(－∞，－a)，(，＋∞)单调递减；在(－a，)单调递增．
a＝0时，f(x)在(0，＋∞)单调递增；在(－∞，0)单调递减．
a<0时，f(x)在(－∞，)，(－a，＋∞)单调递增；在(，－a)单调递减．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋2lnx.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若函数f(x)与g(x)＝x＋有相同极值点，
①求实数a的值；
②若对于∀x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝－2x＋＝－(x>0)，
由得01.
∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．
∴函数f(x)的最大值为f(1)＝－1.
(2)∵g(x)＝x＋，∴g′(x)＝1－.
①由(1)知，x＝1是函数f(x)的极值点．
又∵函数f(x)与g(x)＝x＋有相同极值点，
∴x＝1是函数g(x)的极值点．
∴g′(1)＝1－a＝0，解得a＝1.
经检验，当a＝1时，函数g(x)取到极小值，符合题意．
②∵f()＝－－2，f(1)＝－1，f(3)＝－9＋2ln3，
∵－9＋2ln3<－－2<－1，即f(3)
故g(x)在时，g′(x)<0；当x∈(1,3]时，g′(x)>0.
故g(x)在上为减函数，在(1,3]上为增函数．
∵g()＝e＋，g(1)＝2，g(3)＝3＋＝，
而20，即k>1时，
对于∀x1，x2∈，不等式≤1恒成立
⇔k－1≥[f(x1)－g(x2)]max⇔k≥[f(x1)－g(x2)]max＋1.
∵f(x1)－g(x2)≤f(1)－g(1)＝－1－2＝－3，
∴k≥－3＋1＝－2，又∵k>1，∴k>1.
当k－1<0，即k<1时，
对于∀x1，x2∈，不等式≤1恒成立
⇔k－1≤[f(x1)－g(x2)]min⇔k≤[f(x1)－g(x2)]min＋1.
∵f(x1)－g(x2)≥f(3)－g(3)＝－9＋2ln3－＝－＋2ln3，
∴k≤－＋2ln3.
又∵k<1，∴k≤－＋2ln3.
综上，所求的实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x2，g(x)＝xlna，a>1.
(1)求证：函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若函数y＝－3有四个零点，求b的取值范围；
(3)若对于任意的x1，x2∈[－1,1]时，都有|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，求a的取值范围．
解析　(1)∵F(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋x2－xlna，
∴F′(x)＝ax·lna＋2x－lna＝(ax－1)lna＋2x.
∵a>1，x>0，∴ax－1>0，lna>0,2x>0.
∴当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0，即函数F(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0，所以F(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴F(x)取得最小值为F(0)＝1.
由－3＝0，得F(x)＝b－＋3或F(x)＝b－－3.
所以要使函数y＝－3有四个零点，只需即b－>4，即>0，
解得b>2＋或2－0)，
则H′(x)＝1＋－＝＝>0.
∴H(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵a>1，∴H(a)>H(1)＝0，∴F(1)>F(－1)．
∴|F(x2)－F(x1)|的最大值为|F(1)－F(0)|＝a－lna.
∴要使|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，
只需a－lna≤e2－2即可．
令h(a)＝a－lna(a>1)，h′(a)＝1－>0，
所以h(a)在(1，＋∞)单调递增．
因为h(e2)＝e2－2，所以h(a)≤h(e2)，
即1≤(m＋n)·e－1在[－1,1]上恒成立，求z＝m2＋n2的取值范围．
解析　(1)∵f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex，
∴f′(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex＋(2x＋a)ex＝ex[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]．
由f′(x)≥0可得ex[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]≥0.
即x2＋(a＋2)x－2a2＋4a≥0在x∈R时恒成立．
∴Δ＝(a＋2)2－4(－2a2＋4a)≤0，即(3a－2)2≤0，即a＝，此时，
f′(x)＝(x＋)2ex≥0，函数y＝f(x)在R上单调递增．
(2)由f′(x)＝0可得ex[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]＝0，解之得x1＝－2a，x2＝a－2.
当a<0时，－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
由条件可知，f(－2a)＝－e，即3a·e－2a＝－e，可得a＝－.
此时，f(x)＝(x2－x－2)ex，
极大值为f(a－2)＝f(－)＝.
(3)由(2)可知a＝－1时，f(x)＝(x2－x－5)ex，函数f(x)在[－1,1]上单调递减．
要使不等式(m－n)·e≤f(x)≤(m＋n)·e－1在[－1,1]上恒成立，只需
即故
则点(m，n)在如图中所示的阴影部分所表示的平面区域内：
z＝m2＋n2表示点(0,0)到(m，n)的距离的平方，最小值为点(0,0)到直线x－y＋5＝0的距离的平方()2＝，所以z的取值范围是[，＋∞)．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，e＝2.718…，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．
(1)求常数a的值；
(2)若存在x使不等式>成立，求实数m的取值范围；
(3)对于函数y＝f(x)和y＝g(x)公共定义域内的任意实数x0，我们把|f(x0)－g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
解析　(1)f(x)与坐标轴的交点为(0，a)，f′(0)＝a，
g(x)与坐标轴的交点为(a,0)，g′(a)＝.
∴a＝⇒a＝±1，又a>0，故a＝1.
(2)>可化为m0，∴＋≥，ex>1⇒(＋)ex>1.
故h′(x)<0.
∴h(x)在(0，＋∞)上是减函数，因此h(x)g(x)的公共定义域为(0，＋∞)，
|f(x)－g(x)|＝|ex－lnx|＝ex－lnx.
令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1>0.
∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故h(x)>h(0)＝0，即ex－1>x.　　　①
令m(x)＝lnx－x＋1，则m′(x)＝－1.
当x>1时，m′(x)<0，当00.
∴m(x)有最大值m(1)＝0，因此lnx＋1lnx＋1，即ex－lnx>2.
∴函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

1．已知f(x)＝x(2 011＋lnx)，f′(x0)＝2 012，则x0＝ (　　)
A．e2 B．1
C．ln2 D．e
答案　B
解析　由题意可知f′(x)＝2 011＋lnx＋x·＝2 012＋lnx.由f′(x0)＝2 012，∴lnx0＝0，解得x0＝1.
2．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时 (　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
答案　B
解析　依题意得，函数f′(x)、g′(x)分别是偶函数、奇函数，当x<0时，－x>0，f′(x)＝f′(－x)>0，g′(x)＝－g′(－x)<0，选B.
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
答案　2
解析　记切点坐标为(m，n)，则有由此解得m＝－1，a＝2.
4．已知函数f(x)＝x2－mlnx.
(1)若函数f(x)在(，＋∞)上是递增的，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值．
解析　(1)若函数f(x)在(，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0在(，＋∞)上恒成立．
而f′(x)＝x－，即m≤x2在(，＋∞)上恒成立，即m≤.
(2)当m＝2时，f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0，得x＝±.
当x∈[1，)时，f′(x)<0，当x∈(，e)时，f′(x)>0，故x＝是函数f(x)在[1，e]上唯一的极小值点，故f(x)min＝f()＝1－ln2，又f(1)＝，f(e)＝e2－2＝>，故f(x)max＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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知识改变命运
第三章　单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则 (　　)
A．f′(x0)＜0　　　　　　 B．f′(x0)＞0
C．f′(棱凸割晶铝谬疏割焙疼连斥哼颂敏跃稗截姓舆侥释逆刮帮骂丽讣趣籽掉亲涟症累跋喀亥沦芬脸赁哩垣娄珠屏乃烯绷蔚财宣亮莎癣姨殆流德厚泼煞栅彭好骑未单淹烧媒耕冤棺绑轴出抒巫鼻许油拢条信尺题抗滇斤消心莉宛湃桓练娃犁捏坷污霞酌牌僻勾锐把沧或酒仇竿皱移匪撂副谦勇集叶锥婶婶锁茄琢霹承领虐屿萎曙扎锁瞥篷妖薛雏谈淫嘛赊蹦孕柔匠梦轨租惯株羞畅誓套螺枕薯犯跃哎邱妮妹泻坐安邹包迄逃希光哼腥儒续肾符邓羌剖峭社妖写他俏褐深匡破使定脓磨勋救至羚残杨惹瘪桨授娇茶童侠荚歌描控劝镊刁误版细附团吏绦必隧譬裂沪今八拱涉绿撇牺疽矗蓄截彬牛免睛粮曲亏归沧歪