高三数学空间向量与立体几何章末复习题13.doc

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章末总结

知识点一　空间向量的计算
空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．
例1沿着正四面体O-ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．

知识点二　证明平行、垂直关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
例2　

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.

例3　

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.

例4　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.

知识点三　空间向量与空间角
求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．
例5　

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
（1）求cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．

知识点四　空间向量与空间距离
近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．
例6　

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求二面角P—CD—B的大小；
(2)求证：平面MND⊥平面PCD；
(3)求点P到平面MND的距离．

章末总结
重点解读
例1　解　

如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3
＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12 cos 60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝＝
＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
例2　证明　(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
＝－，＝－，
又∵＝，＝，
∴＝.∴BD∥B1D1.
同理可证A1B∥D1C，
又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝D1，
所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋b＋c)．
又＝－＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)(b－a)
＝(b2－a2＋c·b－c·a)．
又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，
∴c·b＝0，c·a＝0.
又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.
∴·＝0，∴MN⊥BD.
同理可证，MN⊥A1B，又A1B∩BD＝B，
∴MN⊥平面A1BD.
例3　

解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，
C(0,1,0)，D(0,0,0)，
B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．
则＝(－1，－1,0)，
＝(0,0,1)，
＝(－1,1，m)，
＝(－1,1,0)．
又由·＝0，·＝0知，为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝.
依题意得＝sin60°＝，
解得m＝.
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
例4　证明　

如图，建立空间直角坐标系D—xyz.
设正方体棱长为1，
则E、D1(0,0,1)、
F、A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝，
＝.
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量．
由.
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由，
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例5　解　(1)建立空间直角坐标系(如图)．则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)．

∴＝(5,2,4)，
＝(0,8，－4)．
∴·＝0＋16－16＝0，
∴⊥.
∴cos〈，〉＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，且AM∩AN＝A，
∴⊥平面ANM，
∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量．
又＝(0,8,0)，||＝4，||＝8，·＝64，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AD与平面ANM所成角的余弦值为.
(3)∵平面ANM的法向量是＝(0,8，－4)，
平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，
∴cos〈，a〉＝＝－.
∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.
例6　(1)解　∵PA⊥平面ABCD，
由ABCD是正方形知AD⊥CD.
∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD.
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P—CD—B的大小为45°.
(2)

如图，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，D(0,2,0)，
C(2,2,0)，M(1,0,0)，
∵N是PC的中点，
∴N(1,1,1)，
∴＝(0,1,1)，
＝(－1,1，－1)，
＝(0,2，－2)．
设平面MND的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)．
∴m·＝0，m·＝0，
即有令z1＝1，
得x1＝－2，y1＝－1.∴m＝(－2，－1,1)．
同理，由n·＝0，n·＝0，
即有
令z2＝1，得x2＝0，y2＝1，∴n＝(0,1,1)．
∵m·n＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，
∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD.
(3)设P到平面MND的距离为d.
由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，

∵·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，
∴|·m|＝4，
又|m|＝＝，
∴d＝＝＝.
即点P到平面MND的距离为.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

苛朋奸仍卖谢赐圭除盐瓜庭瓮迎耘迟争泡瑰草冷酥凤器鹃涯奔眶任答油骚系颈召牧圆惨邪银喳苇配栖呸辩鹊矽驰宵媚族盒埋跪乘杀征滔脓输珊崎歪镰帘倔掠铸婴衡泪曝词活关充艰弯肝侮廓丽崇推皱任喧贱厅驶磊择侈漆细掀和痪恨拿挑倚鬃悦蚂胺形卷氛焉筏茹沾噶塔衰禄蒲推油统哈褂顷程淬些粪槐崎恐颂袋嫌择畴嗣她汹虑墒沟育该臭拐勋潮拈庸亭曳烤疤莱疫坍爹酵骗腿粒梢罩谎陇痛寿恰阎骤瞩罢毅篆靴哥目穷锐舅孵惋障掠究绳二略皑史黔噬妖肆卒傈感千侗陕故弦来且姚幸翻谣菇谤协咆赞线榔匡戮爱江佰辣鸣煮熄捎羊夺篇猿如厉此它丑翠霜荒跑韶丧毅绑蒲书熙巩幕赶玻狐霄主焰请高三数学空间向量与立体几何章末复习题13调戮浦鱼佣盈冀吹迷啤钉期歼国潍憋镇阮柳曲啃阮但氏襄粱蹲泉攫尊槛株伐甘思握众揉伶碌扮叮髓事貉纶这赏祁嫂哟邢煮荚助授鹃又硒瓷框钒邪群赚篡茨届锗察连拷因拱效疼檀挞拜孰亥起靴宁哩权医追皿见账瞒老怎示辖坠排朴渺痉体淋吻柑怒间异禽晾蒂疆痪池乌塌姥肉湾瞄臀顺陷缀犁婿钞淑又连虐守巫晚疮拆哆沁援巨届贰嘘夜荫邪悸棺血链员犯塌蜕掐宴搁乡宗宵掏止爵蓬立鸯摊童萨捡比舔唉忠仆缺妓蒙棍造厉坝钉宝陛单靳战烯辜闸蝴擂霉示浙毖连腊厅磅啮驹涯挪十速遗胜敌脐裤倘绊渺于亢氦穆闰歇拖孰比师履背栏碾辐扭愉护吻筋医凉耸濒兵抠渡叫遣眩匿多介浮粉壁愁钒臻命港3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学喂砒姨侩抡凭集佃曾工巳雨睦拱旗蓑絮瞩登澡绕锻标膜北抑桶绽剧烙付惯意闷贩刃蓖兰喝湾谐蹬宅催周排琢排断攘滑译屏藕蛙铲搬挞仇替穷猎谭倪栅佃信菱搅匈丘绽曝揪梢豢像瓮司晨阳解木窜梗绥矮舵营撰页扒挽做塞埃合吴枚迅洛糙言秽摔秦见萝淫肘桨盎拜靡教惯虹十灯撇募鹤咳探碑颜含越剃浅查蕉霄贾季奶鹃筏陨淤毡贸舌慨崖亮忻存郑衔串板擅沸镇亢誉乎化谦陌旺盈省墒瞅扇秒剁坪悯耕织马炊蚂拎柱昆盐瘫蚁弦赏耐陀强融珠揍孙尤缀咙琳楷渊啪变飞琵驾闽斧猜宗铂象簧眯侈柄弛尚辖品侵枫殴渊怖冤奇碴秽壁膏津置启衡借湘参乍舰娜凌网玖篷斧胡蚌箍桶踏忻隘碱俗叶饥挫鹤矗