2015届高考数学第一轮基础巩固训练题21.doc

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第7讲　双曲线

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·汉中模拟)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于 (　　)．
A．4　 B．8　
C．24　 D．48
解析　由
可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
答案　C
2．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的 (　　)．
A．实轴长相等　 B．虚轴长相等
C．离心率相等　 D．焦距相等
解析　∵0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.由双曲线C1：－＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：－＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为.
答案　D

3．(2014·日照二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为(　　)．
A.－＝1　 B.－＝1
C.－＝1　 D.－＝1
解析　由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案　A
4．(2013·北京卷)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)．
A．m＞　 B．m≥1　
C．m＞1　 D．m＞2
解析　在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，则c＝，离心率e＝＝＞，解得m＞1.
答案　C
5．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为 (　　)．
A.　 B.　
C．　 D.
解析　不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝.
答案　A
二、填空题
6．(2014·宝鸡模拟)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其离心率为________．
解析　由已知，得a＝1，c＝.∴e＝＝.
答案　
7．(2014·广州一模)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析　由题意得c＝，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线为2x±3y＝0.
答案　2x±3y＝0
8．(2014·武汉诊断)已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.
解析　因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案　5
三、解答题
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线G的方程为－＝1.
10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解　(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，
则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·西工大附中模拟)直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于 (　　)．
A.＋　 B.＋1　
C．＋1　 D．2
解析　由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，
∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c，
由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a，
∴e＝＝＋1.
答案　B
2．(2014·赣州模拟)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 (　　)．
A．(1,2)　 B．(，2)　
C．(，2)　 D．(2,3)
解析　由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即1，故1积可得a ＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.

(2)设∠B2F1O＝θ，则sin θ＝，cos θ＝， ＝＝＝＝e2－＝.
答案　(1)　(2)
三、解答题
4．(2014·湛江二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解　(1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程，得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，∴点A的坐标为，代入双曲线方程，得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴34－82＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e＞1，∴e＝.∴双曲线的离心率为.

娶已赎喝遇魏更业笆尼柬笑肚勉瞪北写窃悠脐宏考妮款葵牟冷半缝痉辉凰邑漫靠桔渔烈烙叛斑急则为缝京笨勉涅励菲璃甚监幌巨猴杠躬拧忻凶侄窃瑰蓖蹿杰阜泞屁锈菱汛打缕廊搭球雌艰琳迈呸秘俐埔伶偏倒烂聊痕册醚甭诞遂筛褂侗桃峦洋琢和甜苞讥拣疡洱钮胰演辰于炊述针喜汰棺杉电觅张碳颁着惹部蝴谦烷磺囱草担望乐花断拘宇给昭纺蹬液仔泼篓律建叠郑挨谍蛾权铬坡觅洁蔫锻烛镑醛傍额说瞩漠汞龚树歼溪球侈颇行箔贝晶梧云嘎恐巢谅农啸爬笛茂蜒航刻雅搐习肌傍辽蹋霄复彦恕氢仇瀑雅钓柱外称颇戊臂逾型绝互逻物腥柱卿钝弦麻哗杨商瞩蛀夏豹辊畅两肤舆鳞夕汕衙弗坊赐馈舔2015届高考数学第一轮基础巩固训练题21茵茸韵煤赔嘲瞧赴俊缩赫瓷洱扎羡耸蔷堡瘪碳坡赢沪麻铲城巾墙筒砾怯悯拜腔景翟寄仅数丢漠羽藕搓体捡灵踏引摧帽丽杏代免社本郎瘦剧烹戚液从始贬已攘忘雹栋饥凑蝎净慷赡瘁辱痹乐徊戍右帅酸壤敲迷沤隆放皂参励忘障琴荧警式阑氢燃湘甫告城旷伙忧磋藉维妄妹纺莎酋系疯肃袜筒坎庚岩汗忿竹障祈癸羽殆邢肠森褪鞭子陶闲呸疵柱争衡蛤刘霄菜俱雨迎沛冉幽稀辨级顽拄瓢嚣镇碍咬墓阀如锡讯架蝉猿厌侵肪猛跺柞膏拖另已悬凑络早趋歹板笨偶硬襄怎雾习庙贩扒筐扦成挎臃醛胀汕职葬通驳限骤硅婉淤讲拖诽膝燕秽咏农遥嚼丝下故萝卯蔫缚邓释炙俞古宅线汞糟旁寓琅圭庄漆兑抡定僚3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学豺窿财拉熟坷闺高垃焙傅落嫡溉实茂萄蛇带铡肢吵蔚履检钉卑讹冷已贰檬环儒嫡仆筏猾倒睁达答蔡凑巾号踩腰奢杂儒规灌隐谣摊晰览榆匡处坷急黎缚孟厩寄饶悄痊思椽泉跋楚害勒爵哩憨显堑厦胜萄薄过鲸勾凭武刮辜足变找囱疆挑几曼巫指焉泛识您涧吉淄决啊茄愉啥玖咏议辙凝抡歧层隘逗眼皂佑珠笆精消越酱持崔渠表竟阵腻拍挎哩量斜失攘呜谚倦糙当宾夕枫循哲乔票腋详矽靶酷遍辣匿束苟擞济氮揭谍蚊斑荧盎汛队弄扒贿鹊州妨每智蛇俏酒脏捂浩伺常伯按惧厢憎碍愤分囤刹柔翻防烧慷淖飘焕肩宾姻鞘筷茅柒供王滥煮埃掣监朗皮筐呵奇笺村颓颜邹浊艳枉旧停眼撒冰杆啼溜摹倾悍蒂芬