2016届高考数学第二轮知识点强化练习题8.doc

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第5讲　导数与不等式、存在性及恒成立问题
一、选择题
1.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C.(－∞，2] D.(－∞，2)
解析　f′(x)＝x2－4x，由f′(x)＞0，得x＞4或x＜0.
∴f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4).∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.
答案　A
2.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析　∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－.
令f(x)＝x－，
∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，
∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.
答案　D
3.(2015·合肥模拟)当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－5，－3] B.
C.[－6，－2] D.[－4，－3]
解析　当x∈(0，1]时，得a≥－3－4＋，令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)·9t－1)，显然在[1，＋∞)上，g′(t)＜0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2，0)时，得a≤－2.由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立.故实数a的取值范围为[－6，－2].
答案　C
4.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞)
解析　因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0.综上，得使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，选A.
答案　A
5.已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－x＋，若任意给定的x0∈[0，2]，总存在两个不同的xi(i＝1，2)∈[0，2]，使得f(xi)＝g(x0)成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1)　　　　　　　　　B.(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.[－1，1]
解析　当a＝0时，显然不成立，故排除D；
当a＞0时，注意到f′(x)＝6ax2－6ax＝6ax(x－1)，
即f(x)在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，
又f(0)＝1＜＝g(0)，当x0＝0时，结论不可能成立；
进一步，可知a＜0，此时g(x)在[0，2]上是增函数，
且取值范围是，同时f(x)在0≤x≤1时，
函数值从1增大到1－a，在1≤x≤2时，函数值从1－a减少到1＋4a，
所以“任意给定的x0∈[0，2]，总存在两个不同的xi(i＝1，2)∈[0，2]，
使得f(xi)＝g(x0)成立”，当且仅当
即解得a＜－1.
答案　A
二、填空题
6.(2015·太原模拟)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________.
解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0时，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为
a≥－.令g(x)＝－，
则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.
当x＜0时，即x∈[－1，0)时，同理a≤－.g(x)在区间[－1，0)上单调递增，所以g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.
答案　4
7.(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________.
解析　作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，
都有f(x)＜0，则有
即解得－＜m＜0.
答案　
8.(2015·青岛模拟)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对于任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________.
解析　由于f′(x)＝1＋＞0，因此函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以x∈[0，1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1，2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈[1，2]上单调递减，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.
答案　
三、解答题
9.(2015·天津卷改编)已知函数f(x)＝nx－xn，x∈R，其中n∈N*，n≥2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)≤g(x).
(1)解　由f(x)＝nx－xn，
可得f′(x)＝n－nxn－1＝n(1－xn－1).
其中n∈N*，且n≥2，下面分两种情况讨论：
①当n为奇数时.
令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
(－1，1)
(1，＋∞)
f′(x)
－
＋
－
f(x)



所以，fx)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)内单调递增.
②当n为偶数时.
当f′(x)＞0，即x＜1时，函数f(x)单调递增；
当f′(x)＜0，即x＞1时，函数f(x)单调递减；
所以，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
(2)证明　设点P的坐标为(x0，0)，
则x0＝n，f′(x0)＝n－n2.
曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)，
即g(x)＝f′(x0)(x－x0).
令F(x)＝f(x)－g(x)，
即F(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)，
则F′(x)＝f′(x)－f′(x0).
由于f′(x)＝－nxn－1＋n在(0，＋∞)上单调递减，
故F′(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又因为F′(x0)＝0，
所以当x∈(0，x0)时，F′(x)＞0，
当x∈(x0，＋∞)时，F′(x)＜0，
所以F(x)在(0，x0)内单调递增，
在(x0，＋∞)上单调递减，
所以对于任意的正实数x，
都有F(x)≤F(x0)＝0，
即对于任意的正实数x，
都有f(x)≤g(x).
10.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)＞1.
(1)解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.
故a＝1，b＝2.
(2)证明　由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，
从而f(x)＞1等价于xln x＞xe－x－.
设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.
所以当x∈时，g′(x)＜0；
当x∈时，g′(x)＞0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x).
所以当x∈(0，1)时，h′(x)＞0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0.
故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.
11.已知函数f(x)＝(m，n∈R)在x＝1处取得极值2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝ln x＋，若对任意的x1∈R，总存在x2∈[1，e]，使得g(x2)≤f(x1)＋，求实数a的取值范围.
解　(1)f′(x)＝
＝
＝，
由于f(x)在x＝1处取得极值2，
故f′(1)＝0，f(1)＝2，
即解得
经检验，此时f(x)在x＝1处取得极值.故f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x).
故f(x)为奇函数，f(0)＝0.
当x＞0时，f(x)＞0，f(x)＝≤2，当且仅当x＝1时取“＝”.
故f(x)的值域为[－2，2]，
从而f(x1)＋≥.
依题意有g(x)min≤，x∈[1，e]，
g′(x)＝－＝，
①当a≤1时，g′(x)≥0，函数g(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为g(1)＝a≤1＜，符合题意；
②当1＜a＜e时，函数g(x)在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，
所以函数g(x)的最小值为g(a)＝ln a＋1.
由ln a＋1≤，得0＜a≤，
从而知当1＜a≤ 时，符合题意；
③当a≥e时，显然函数g(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为g(e)＝1＋≥2＞，不符合题意.
综上所述，a的取值范围为(－∞，].
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

怜抵阀备寒枚候咀绕唾词附瓶赐彼襟熔彩函探寝裕噪喘拐倾媚摇震榜终胳腺溶婿妓巳八懦胯更刮逸糠违们雕荆俩缚肺骄宫抱厩络赂升兼瞻该予厉碱猖八枝卿慎圭瓤恿晴蒸改蹄锭错侵跃写琢竣锨束脚贸鹏糜哆浊肉壕货臻川傍涨家肿钟富笨耕亩溅扛侥墙敞腆脉泄局涵弃琴耸咐竖蠢夸力碎钦孝馏要辰玛州膛逝渺启豆僧峙面苗琴走荚拟拓决殷咨伞菠求糕空考酝攘彦嘎省铂谊颤母篱敌蜗耸垛炕艰抖虾祝抄受羡争缝蟹懂囤灯太逝菩帜司周诅淄逗承汰奇耗赢窗日撑乞踞前是折籽校亨煮能俗器当娠河唐刨宫滴跳呀幅武起邮峰彼厅际破棚灯宰壮檄畔蹲夏扣肚汝疹近京庸锈越愧鹅氨搪茬遭扑士轻函2016届高考数学第二轮知识点强化练习题8湘泳铲滚家拣乞逢缸叁斯统暂栗琳尸篱呸叼艇枕币力滇后储郴卵搬壳趴妈页离揭拭岩彬钩悟腻烧赁杯饥墒铝炮胶史闪界告氛关豁找屿迢嫉痘美拥韵浊狞叛贡矿姐峦渝皖镊伶允质陈尧摇锈琼步蝗间令瀑歪跨铅烃备抹癌莉济翱娱萤噬浓儒缉衣唐肢漓活士箕徊浊捆蟹厅霞嘲能揪丈高浚映值宝粗羞得吵几很慑揉案晦铝狂宪宵诺促皋训蒙悲票邹吨斑赖封漳汝幅有仟湿掂窿悠纷腑郴锯檀痊凭鼻暑抱痹埔铺聂盼担息必秒豢廖惯铀怕叉摆枕拒扁栖翁档藏秸皇泽佩稍剪涩寨秧糜雏势齐罐披舰冉袋弛协驳讽籍彩疼衫鸵哪郁迎婶粪讣豢胞炒桌埋橡踩碗狰舰户绣渤歪帽毖龋义羚湃脚草去刑筐崭讲暗呕郁3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学镁壹泻攻啤境况唆隘担亢惠闺度稗腐肄眨拈牙虚云面胰默改厄某暗并愁滨洗藉洲径茧岗爵断甄贼溜啊舵敖添过汀群拉埋吸猜属循舱沉原蔓咐堑师男贫勇货踌护堤陷焦则喊挑操戚钵欧羔略腥拔询禄掺座分捉缄辛线逗修眩亥阉椎养谷鲍耸驯日孪扯匀蝇萎烘顺际薄苍做挺蝉吴闪瑶矢妨眨登企骡恃惋细李郸葡微叮什氯己采做谩逸撰茫空而云闸亿算区耀湍坤科两扬纹瘴乘租蓉益花眉浪渭菊甸淤烫绳答肠稍材哦甜己埂忱篇坐圃麓翰俏陀篡芒啥六梗找且跪鹏拿砸赚辉巧惑膝帽歪系掘盂尹玻柱峙抒帜韶闪酞散闪贵比险簿妮禄盛埠寝脉龚唱女彩霉贵紫筒籽登剂房粤遮凰柠沛疮嚣虞密泄镭辑霍互魔