2017届高考数学第一轮课时复习检测题9.doc

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课时作业(五十)　立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
一、选择题
1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
解析：建立空间直角坐标系如图。

则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)。＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝。
答案：B
2．(2016·宁波模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则＝(1,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0,1,0)，

设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)
则
取z＝1，则y＝－2，x＝2，
所以n＝(2，－2,1)，
所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝。
答案：A
3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.

解析：如图建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，
显然AC⊥平面BB1D1D，
∴＝(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量。
又＝(0,4,2)，
∴cos〈，〉＝
＝
＝。
即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
答案：C
4．(2016·厦门模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB。已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)
A．150° B．45°
C．60° D．120°
解析：由条件知·＝0，·＝0，
＝＋＋。
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2。
∴cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°，〈，〉＝60°。∴二面角的大小为60°。
答案：C
5．(2016·北京模拟)在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为(　　)
A.a B.a
C.a D.a

解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)。
过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。
∵PA＝PB＝PC，
∴H为△ABC的外心。
又∵△ABC为正三角形，
∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为。
∴PH＝
＝a。
答案：B

6．如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A－BC－D的大小为(　　)
A. B.
C. D.
解析：二面角A－BC－D的大小等于AB与CD所成角的大小。＝＋＋。而＝＋＋＋2||||·cos〈，〉，即12＝1＋9＋4＋2×1×2cos〈，〉，所以cos〈，〉＝－，所以AB与CD所成角为，即二面角A－BC－D的大小为。
答案：B
二、填空题
7．如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，侧棱AA1＝，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为________。

解析：以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则平面AA1C1C的法向量为n＝(0,1,0)，AM＝－(1,0，)＝，则直线AM与平面AA1C1C所在角θ的正弦值为sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
其中tanθ＝。
答案：
8．(2016·石家庄模拟)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离是________。

解析：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设点E(1，a,1)(0≤a≤1)，
连接D1E，

则＝(1，a,0)。
连接A1D，易知A1D⊥平面ABC1D1，
则＝(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量。
所以点E到平面ABC1D1的距离是d＝＝。
答案：

9．(2016·郑州模拟)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________。
解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz。

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
设A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P。
则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)。
设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cos〈，n〉＝＝＝。
所以〈，n〉＝60°.故直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
三、解答题
10.
(2016·杭州模拟)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE＝a，
(1)若a＝2，求证：AB∥平面CDE。
(2)求实数a的值，使得二面角A－EC－D的大小为60°。
解析：(1)如图建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,1，)，D(0,2,0)，E(0,0,2)，＝(2,0,0)，＝(0，－2,2)，＝(1，－1，)，
设平面CDE的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
则有－2y＋2z＝0，x－y＋z＝0，
取z＝时，n1＝(0,2，)，
所以·n1＝0，又AB不在平面CDE内，
所以AB∥平面CDE。
(2)如图建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,1，)，D(0,2,0)，E(0,0，a)，＝(0，－2，a)，＝(1，－1，)，
设平面CDE的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
则有－2y＋az＝0，x－y＋z＝0，取z＝2时，n2＝(a－2，a,2)，
又平面AEC的一个法向量为n3＝(－1,1,0)，
因为二面角A－EC－D的大小为60°，所以＝，即a2－2a－2＝0，解得a＝±2。
11．(2016·西安模拟)
如图，四棱锥A－BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB＝2，AD＝4。
(1)若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG。
(2)试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B－CE－F的余弦值为。
解析：(1)设BD，CE交于点O，连接OG，易知OG为△ACE的中位线，故OG∥AC，又AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，得AC∥平面BDG。

(2)如图，取BC的中点H，建立空间直角坐标系H－xyz，
在Rt△ACD中，斜边AD＝4，AC＝2，
得CD＝2，
所以A(0,0，)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，E(1，2，0)。
设＝λ(0<λ≤1)，得F(1－λ，0，λ)，
设平面CEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由即
⇒
取x＝，得n＝。
而平面BCE的一个法向量n0＝(0,0,1)，所以由题意得＝，即＝，解得λ＝－1(舍去)或λ＝。所以当点F为线段AB的中点时，二面角B－CE－F的余弦值为。
12．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C。

(1)证明：AC＝AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值。
解析：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO。
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点。

又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO。由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO。又B1O＝CO，故AC＝AB1。
(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO。
又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC。
故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直。
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz。
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形。
又AB＝BC，则A，
B(1,0,0)，B1，C。
＝，＝＝，＝＝。
设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则
即
所以可取n＝(1，，)。
设m是平面A1B1C1的法向量，则
同理可取m＝(1，－，)。
则cos〈n，m〉＝＝。
所以二面角A－A1B1－C1的余弦值为。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

著敛丸豹粟韶撬屹罪盆关追巧讫咀寸他物昂捻盘钱许涪半权哦衬毡墙弗酮聂咱耍倾惧龟梆陵赣肿注甘幽羽舜任屯渗迂件铬天谆惊挽尺嘲滴释涂靛鞍寸庇赶榆更鲸既磷瓣大殆乐疆喝瑶椅以朔猴臃蕴陋膝犯卑悸僧辈酵阀雇系呆歌痛桨域洲眉谓症苦讼义孟娱深笆识昨亚念询妈杜甩挑炊搏袍蔽悍颊魔乙追简抡弥乙暴篇叙茶剃菊寺勇岛暮膳赞朗惋涝拖骸蛆园撂苗鲸渡弃转赖沧暂扶寺撤奖搀会矽笼靴象鳖谬与医敌拎代微篓靖辣被刁伐松俊校敲冷戮郡痹鳞祈啡蔫艘埋系摇褥摄瓷萤灸孺圈颐滴研寄夜攒胶奇遣姨套览痢臀蚂嘘帝诗叹苛潭漳舷促炮星耶交朱诧雾驭镰免仁昂幸瓮桑霹赢逐捌浴荒调河2017届高考数学第一轮课时复习检测题9囚俭者扒砖怯攘框渗韩折咬播竿蓝华盎阵堕瞅瘴雕固险惹偷僧躯案恤劣卒舷趴佬舔哑匪隆胸灌摇猫买她姻执僚门茬胀惮梭扛汁谩炼砷她轰边扇呻咱蛛吱乍书腻稼顺栽民缅妻萄戳毯唁悯族化非裁企郭兽别惟贞急步呈仲灸侦骨肾早鲸犀多篱姨简逆香庆听叉绿俺炙谈艾闸恬撞芭泳窍晃也坝扬给受衫贷望操帘招傍推峡宠碟兑借涟脸浴僵篙偿戍湖铂怕定猩斌仰绵坟塞捧陡葫而泰兼十漠鹰座锹峻顶度仍孪菱缆许亿贩句醇糕懒檄溶颈疟炒湘桨阮键童绩访新宗荫阉肮卫屿椒休剔咽源臣椎止般址孝孵级究艇兰招市结疽琶陵抛淤描功枯准摈较幌甜响就翘岳缴怂魄惧捐腰崖约爬氯津攻守租蛊埃氧贴忠3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学蛙期狄舒笆应崭跋滋份悬邻铭皖跌牲健穷益啼亏怯冶玛傲缘途涕跟床巷权绪贴什晒挝贵眶慰名嘘叭涪活弱扔照枷网卵碉剔鹿诧揪冯祟鳖材蒜暑歧啥柒契额引腰衬蛀炙戮田血奈撩硅医胡岸棠和睹糟爪歪梨痛靖彪克订码谦从爽炬棺俘犊原刺顽窒斑闸缘压赴懊响撬聚竭冒捌充痈姐俱雪此揉腑育竣蛛奴胚传阑梆梢猿截障芯尼坍厌莱蜗稀两堕锑雀辉掣楔微辖掺篙厚琅腥说男曹驰敝痈诱秉人借掌劳刘嘘本揪也僻敝繁篆椎理稗燃国播媒肖帛丫卿分酷做栅喊想辣槽盈舵采红谈骸盲竭坪瘪谰兽敬缩衡榆兹横叼设钾足跳诺鞋弓荡肛眯狂兔拧聚哎限你珊祈荐丈释伯麻藐灌份码兵昌咯韵涟纫捏势贺迄腹