高二数学上册单元复习训练题4.doc

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第4章 第6节
一、选择题
1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sinα＝，则cos(π－2α)＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－
C. D.
[答案]　B
[解析]　本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用．
由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α，
∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
∴cos(π－2α)＝－.
2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是(　　)
A．1　　　　　　　　 B.
C. D．1＋
[答案]　C
[解析]　f(x)＝＋sin2x＝sin＋，
又x∈，∴2x－∈，
f(x)max＝1＋＝，故选C.
3．已知tan2α＝－2，且满足<α<，则
的值为(　　)
A. B．－
C．－3＋2 D．3－2
[答案]　C
[解析]　＝＝.
又tan2α＝－2＝
∴2tan2α－2tanα－2＝0.解得tanα＝－或.
又<α<，∴tanα＝.
原式＝＝－3＋2.故选C.
4．(2010·新课标理)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝(　　)
A．－ B.
C．2 D．－2
[答案]　A
[解析]　本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用．
∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，
∴＝＝
＝＝
＝＝＝－，故选A.
5．已知sinα＝，且α∈，则的值为(　　)
A．－ B．－

C. D.
[答案]　B
[解析]　∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－，
∴＝＝＝＝－.
6．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为(　　)
A．5 B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx
＝3sinxcosx－4cos2x＝sin2x－2cos2x－2
＝sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝，
所以f(x)的最大值是－2＝.故选C.
7.＋2的化简结果是(　　)
A．4cos4－2sin4 B．2sin4
C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
[答案]　C
[解析]　＋2
＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，
∵π<4<，∴cos4c
解法二：由sinα·cosβ＝知sin2α·cos2β＝.
则cos2α·sin2β＝(1－sin2α)(1－cos2β)＝1－(sin2α＋cos2β)＋sin2αcos2β＝－(sin2α＋cos2β)≤－2＝，所以－≤cosα·sinβ≤.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝asinx·cosx－acos2x＋a＋b.(a>0)
(1)x∈R，写出函数的单调递减区间；
(2)设x∈[0，]，f(x)的最小值是－2，最大值是，求实数a，b的值．
[解析]　(1)f(x)＝a(sinx·cosx－cos2x＋)＋b＝a×(sin2x－×＋)＋b
＝a·sin(2x－)＋b
∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得，f(x)的递减区间是[kπ＋π，kπ＋π](k∈Z)
(2)∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]
∴sin(2x－)∈[－，1]
∴函数f(x)的最小值是－a＋b＝－2
最大值a＋b＝，解得a＝2，b＝－2.
13．在△ABC中，已知a·cos2＋c·cos2＝b.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)求角B的范围．
[解析]　(1)由条件得a·＋c·＝b.
∴a＋c＋(acosC＋ccosA)＝3b.
∴a＋c＋a·＋c·＝3b，
∴a＋c＝2b，即a、b、c成等差数列．
(2)cosB＝＝
＝≥＝.
∵B∈(0，π)，∴0－1)
＝sin2x＋cos2x＝2sin.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
从而cos＝－＝－.
所以cos2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
15．已知向量a＝(cosx＋2sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)．设函数f(x)＝a·b＋.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)若函数y＝f(x＋φ)为偶函数，试求符合题意的φ的值．
[分析]　写出y＝f(x)的表达式是解题的关键．对于(1)，结合题意，利用数量积的坐标运算及三角变换公式得到函数y＝f(x)的表达式，进而求出函数的单调减区间；对于(2)，函数y＝f(x＋φ)为偶函数的实质就是求y轴是函数y＝f(x＋φ)的一条对称轴．考虑到y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，故可利用整体思想来解决．
[解析]　(1)由已知可得f(x)＝(cosx＋2sinx)(cosx－sinx)＋2sinxcosx＋
＝cos2x－sinxcosx＋2sinxcosx－2sin2x＋2sinxcosx＋
＝cos2x＋3sinxcosx－2sin2x＋
＝(1＋cos2x)＋sin2x＋(cos2x－1)＋
＝(sin2x＋cos2x)＝sin.
由2kπ＋<2x＋<2kπ＋(k∈Z)得：kπ＋练掌握数量积的定义及运算法则、三角函数的诱导公式、两角和与差的公式等是解决这类题目的一个前提．复习时要将上述知识融会贯通，有针对性地加强训练．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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