2017届高考理科数学第一轮课时复习习题6.doc

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课时作业(三十)　数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1．已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝(　　)
A．－3－4i　　B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：由(3－4i)z＝25⇒z＝＝＝3＋4i，选D。
答案：D
2.＝(　　)
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
解析：＝＝－1＋2i，故选B。
答案：B
3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝＝。
方法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝＝。
答案：C
4．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
解析：方法一：由题知(z－2i)(2－i)＝5，所以z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i。
方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以[a＋(b－2)i](2－i)＝5，利用复数相等即实部与实部、虚部与虚部分别相等，得到解得所以z＝2＋3i，故选A。
答案：A
5．i为虚数单位，2＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：2＝＝－1，选B。
答案：B
6．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝(　　)
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
解析：由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i。
答案：A
二、填空题
7．复数(i为虚数单位)的实部等于__________。
解析：直接运算得，＝－(3＋i)＝－3－i，故实部为－3。
答案：－3
8．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝__________。
解析：(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2。
答案：2
9．已知i是虚数单位，计算＝__________。
解析：＝＝＝。
答案：
三、解答题
10．要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，其中的实数a是否存在？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
解析：假设z为纯虚数，
则有
由①得a＝－2或a＝3。
当a＝－2时，②式左端无意义。
当a＝3时，②式不成立。
故不存在实数a，使z为纯虚数。
11．复数z＝(a，b∈R)，且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值。
解析：z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)
＝－2a－2bi。
由|z|＝4，得a2＋b2＝4。①
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|。
把z＝－2a－2bi代入化简，得a2＝3b2，②
代入①得，|b|＝1。
又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0。
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1。
12．设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围。
解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则＝a－bi。
代入4z＋2＝3＋i，得
4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，
即6a＋2bi＝3＋i。
∴
∴z＝＋i。
|z－ω|＝|＋i－(sinθ－icosθ)|
＝
＝ 。
∵－1≤sin(θ－)≤1，
∴0≤2－2sin(θ－)≤4。
∴0≤|z－ω|≤2。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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