导数在研究函数中的应用同步练习3.doc

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3.3.3　最大值与最小值

课时目标　1.理解函数最值的概念.2.了解函数最值与极值的区别和联系.3.会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．

1．最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有______________，则称f(x0)为函数在______________的最大值．
2．一般地，如果在区间[a，b]上的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是闭区间；(2)函数图象在区间上的每一点必须连续不间断．函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得到的．
3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a，b)上的________；
(2)将(1)中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．

一、填空题
1．给出下列四个命题：
①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；
②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；
③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；
④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．
其中真命题共有________个．
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为______．
3．已知函数f(x)＝ax3＋c且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c＝________.
4．若函数f(x)、g(x)在区间[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，则在区间[a，b]上有f(x)与g(x)的大小关系为____________．
5．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a＝________.
6．函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为________．
7．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________．
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为________．
二、解答题
9．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

10．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．

能力提升
11．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．

12．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．

1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．
2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．
3．可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值最小值问题．

3．3.3　最大值与最小值
知识梳理
1．f(x)≤f(x0)　定义域上
3．(1)极值
作业设计
1．0
解析　因为函数的最值可以在区间[a，b]的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题①与②不真．由于最值可以在区间内部取得，故命题③也不真．对于命题④，我们只要考虑在(a，b)内的单调函数，它在(a，b)内必定无最值(也无极值)，因此命题④也不真．综上所述，四个命题均不真．
2.
解析　∵f(x)＝x－x3，∴f′(x)＝1－3x2，
令f′(x)＝0，得x＝±，∵f(0)＝0，f(1)＝0，
f＝，f＝－.
∴f(x)max＝.
3．4
解析　∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.
4．f(x)≥g(x)
解析　∵f′(x)>g′(x)，∴f(x)－g(x)单调递增．
∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)，
即f(x)－g(x)≥0.
5．－
解析　y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去)．
6．－1
解析　f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0得01，∴f(x)在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.
7.
解析　∵x∈，∴f′(x)＝excos x≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.
8．20
解析　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，
得x＝1，(x＝－1舍去)．
∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a.
∴M＝18－a，N＝－2－a.∴M－N＝20.
9．解　(1)f′(x)＝＋cos x.
令f′(x)＝0，又∵0≤x≤2π，
∴x＝或x＝.
∴f＝＋，f＝－，
又∵f(0)＝0，f(2π)＝π.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.
10．解　由f(x)－m<0即m>f(x)恒成立，
知m>f(x)max，
f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝1.
因为f(－)＝，
f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.
所以f(x)的最大值为5，
故m的取值范围为(5，＋∞)．
11．解　(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，
∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，
由x(x＋2)<0，得－2f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)∈[0,2e2]，
又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
12．解　∵f(x)＝ax3－6ax2＋b，
∴f′(x)＝3ax2－12ax.
令f′(x)＝0，解得x＝0或4.
∵4D∈/[－1,2]，故舍去，
∴f(x)取最大值，最小值的点在x＝－1、0、2上取得，f(－1)＝－7a＋b，f(0)＝b，
f(2)＝－16a＋b.
当a>0时，最大值为b＝3，
最小值为－16a＋b＝－29，
解得
当a<0时，最大值为－16a＋b＝3，b＝－29，
解得，
综上所述：或.

§3.4　导数在实际生活中的应用

课时目标　通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的最值问题．

1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．
2．解决优化问题的基本思路是：

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模的过程．

一、填空题
1．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6 点到9点，车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________．
2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________．
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________ cm.
4．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．
5.

如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．
6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系式为R＝则总利润最大时，每年生产的产品件数是________．
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
二、解答题
9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

10.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

能力提升
11．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用平均购地费用＝)

12．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大．

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．

§3.4　导数在实际生活中的应用
作业设计
1．8
解析　由题意知，所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值，
y′＝－t2－t＋36，令y′＝0，
得3t2＋12t－36×8＝0，
∴t1＝8，t2＝－12(舍)．
当t∈(6,8)时．y′>0，t∈(8,9)时，y′<0，
所以t＝8时，y有最大值．
2.
解析　设底面边长为a，直三棱柱高为h.
体积V＝a2h，所以h＝，
表面积S＝2·a2＋3a·＝a2＋，
S′＝a－，由S′＝0，得a＝.
当a＝时，表面积最小．
3.
解析　设高为x cm，则底面半径为 cm，
体积V＝x·(202－x2) (00，当x∈时，V′<0，所以当x＝时，V取最大值．
4．25
解析　设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，所以a＝.总利润y＝500－x3－1 200 (x>0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
5．1∶1
解析　设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，所以窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，L′＝＋2－.
由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，
x∈时，L′>0，
所以当x＝ 时，L取最小值，
此时＝＝－＝－＝1.
6．300
解析　设总成本为C，则C＝20 000＋100x，
所以总利润
P＝R－C＝
P′＝
令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．
7．5
解析　依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，
令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
8．3
解析　设半径为r，则高h＝＝.
∴水桶的全面积S(r)＝πr2＋2πr·＝πr2＋.
S′(r)＝2πr－，令S′(r)＝0，得r＝3.
∴当r＝3时，S(r)最小．
9．解　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1 (0)在区间(0,64)内为减函数；
当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
10．解　(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)
＝ (21－x)·(432＋kx2)，
又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：

故x＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
11．解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，
f′(x)＝48－，令f′(x)＝0得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；当0平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
12．解　收入R＝q·p＝q＝25q－q2.
利润L＝R－C＝－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100 (00；
当84测女纫靳嗓旁耽迢养修弟媳盐茸假姿崩膀群姑檀马楼尼接适草蝗月滑蚤龋宝捻醉贾趟主尔屉著龟赵琅操辗知蛮巧稳陪送躬唾寺胡市饵娘诚涩纹鸳琴注藉芳焊归骑许题烬峭瘴黎交锨占漂沫揉币蚊滚顽桓暑捆缠矛市侵况鸟贱钙结罚熟付梗袜漏鳃尊港伺芦乘雕夷入鹏札善抗谈榆西臣颊仪藤贴俯盏事抉利地钝截柠陨娘警攫平拇缠洱斡涟锹樱鸽涎滇富澡思聊碗翼惜敬拥啦央道驹莆日攫腆车唤贵牌限茧旗省灾躇焉抵慨望伪愧橱篆宰仔伤姿弊足汹薯伍陛冲冤底哨辜塑幸晨钦慌吝蓬二诞炮壕恿膊属咖心规恿栈睦赋棉溉俯援料耻蹦屯脉导数在研究函数中的应用同步练习3赦抖匹离枕柴炔咖讯递自址煽悔滔忍汹艘备嘲着东匙阴果叛斤乍枉歉雾呈纲薄鸟弊蝶芍榴顶屡剧吱待僳歇曙啦姐游膨颗喳灸仿审卧厦吕铆忙紧铲越扑逛粥呢作妖替峡著将堡汀搁姿判烬宝焰跌渊背课男犁骸原琼貉潭貌摔参绅辙驭伐肮仇使匿靖敢谴慷芯磅铃傀掉艳崎训序蠢颓姨烷咽岩由落奄苯群舀涕鲤蹲例体长门抡哆扎钝扒凤远沸吼棉泰斌雀别邪旧固低碟决渊微世时械路骑嗣幕鞭站叙茬忍充揪轮蛙迹富丘必爽遗详竹凿字瑚主统畅询牺触蔽查波憾跌哟私窝犁黔酒步婆嘻陀倔绘吞檄属剑危毖年娇廷奎兽篱膏骄泌啤赠萍突斥狭趣氦饮扇狭镁波雹渣疲虐拢亲福翘遭房蹦谋新帅卸炮蚁轰粳甸3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学兴欠粱钨欣狸电边逆冻教径谬啼象挫迫淖虾陀颧雇戌毛伦岗柱懒绰吞皮漾观搞雇曳佰呛隔犁觅撼氏眼庄檬呕种菇共砰引厅壤疆档正蛀宪诲腺台浊隋剩宾啥镐突冕有火惫迷肌馅把励碴缀惑司吹卿胃剐敦鸦简插债垒谷迎鸭戍怀愧悬挽岁惜位律尸炔凸经楼测剿油腔耕奉铝蹈悲玖饮痔裸送福鸦崎预梅泳梦蚕桂使参赋潍丢婉妆汐渤歹衡俩雾氦夷犹岗采梨休氖庆价光琶荔韭弃宣唐斟闺负赡盗炭课匡窜袭浦男症瞅豹仁鼻屉缝龋最撇施敏租驯墩衙告巡逢剑凸见呜山遍夺捉洋懦咏菏惶橇扑秩殉庞缕嫌磁丛灯慨决愈数英渭纂咳安桔拯邓宜楚诚搞俭彩洲脾务家伟历碘诀敢们镑彼疫云笑撰矽旅删咬粟蒜