2015届高考数学第二轮高效精练22.doc

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第28讲　不等式选讲
1. 已知实数x、y、z满足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．
解：由柯西不等式得(x＋y＋z)2≤[(x)2＋(y)2＋z2]·，故2x2＋3y2＋z2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，2x2＋3y2＋z2取得最小值为.
2. 解不等式：|2x＋1|－|x－4|＜2(x∈R)．
解：当x≥4时，2x＋1－(x－4)＜2，∴ x∈；
当－≤x＜4时，2x＋1＋x－4＜2，∴ －≤x<；
当x＜－时，－2x－1＋x－4＜2，∴ －7＜x＜－.
综上，该不等式解集为.
3. 设a1、a2、a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝m，求证：＋＋≥.
证明：∵ m＝(a1＋a2＋a3)(＋＋)≥3··3＝9，当且仅当a1＝a2＝a3＝时等号成立．又a1＋a2＋a3＝m＞0，
∴ ＋＋≥.
4. 已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.
证明：因为[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)
≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2
＝(x＋2y＋3z－6)2＝142，
当且仅当＝＝，即x＝z＝0，y＝－4时，取等号，
所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.
5. 设a、b、c均为正数，abc＝1.求证：＋＋≥＋＋.
证明：由a、b、c为正数，根据平均值不等式，得
＋≥，＋≥，＋≥.
将此三式相加，得2≥＋＋，
即＋＋≥＋＋.
由abc＝1，则有＝1.
所以＋＋≥＋＋＝＋＋.
6. 若正数a、b满足a＋b＝1，求＋的最小值．
解：(解法1)因为a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.
所以＋＝[(3a＋2)＋(3b＋2)]
≥＝.
当且仅当3a＋2＝，即a＝，b＝时取等号．
所以＋的最小值为.
(解法2)因为a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.
所以＋＝[(3a＋2)＋(3b＋2)]
＝
≥＝.
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．
所以＋的最小值为.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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