高三数学基础达标知能演练复习题54.doc

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[基础达标]
1．(2014·河南郑州模拟)已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　)

A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：选D．

如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10(km)．

2. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
解析：选D．由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
3．(2013·高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．由余弦定理可得
AC＝
＝＝，于是由正弦定理可得＝，于是sin∠BAC＝＝.
4．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　)

A．11.4 B．6.6
C．6.5 D．5.6
解析：选B．∵AB＝1 000×1 000×＝ m，
∴BC＝·sin 30°＝ m.
∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 km.
∴山高为18－11.4＝6.6 km.
5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：选A．如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．

6. 如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是________n mile/h.

解析：设航速为v n mile/h，
在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得＝，则v＝32.
答案：32
7. (2013·高考福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．

解析：∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
答案：
8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：

如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
答案：10
9．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m．求该河段的宽度．

解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.
由正弦定理得＝，

∴BC＝.
如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，
∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝，
∴BD＝BCsin 45°＝·sin 45°＝×＝ m，
∴该河段的宽度为 m.
10. (2013·高考课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，
由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝，
故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得＝，
化简得cos α＝4sin α，
所以tan α＝，即tan ∠PBA＝.
[能力提升]
1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：选A．设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为(　　)
A． 海里/时 B．34 海里/时
C． 海里/时 D．34 海里/时
解析：选A．如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，

由正弦定理，得＝，
∴MN＝68×＝34(海里)．
又由M到N所用时间为 14－10＝4(小时)，
∴船的航行速度v＝＝(海里/时)．
3．(2014·河南郑州模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________．

解析：如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝ m.
在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，
∴CD＝ AC＝ (m)．
答案： m
4．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.

解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，
∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.
在△AMB中，由正弦定理，得＝，
解得BM＝30.
答案：30
5．在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
解：如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，

BD＝10t.
在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°.
利用余弦定理可得BC＝.
由正弦定理，得
sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，
得∠ABC＝45°，
即BC与正北方向垂直．于是∠CBD＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝
＝＝，得∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°.
又＝，＝，得t＝.
所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时．
6．(选做题)(2013·高考江苏卷) 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.

(1)求索道AB的长．
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，
得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C．
设乙步行的速度为v m/min，
由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在[，](单位：m/min)范围内．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

忍经思铃拙链导镰挽倡皑累坤挠德蚀隅脸呈颧得亭掘孪件纳陕赣叉剔硝勤史脚逊苯罚踪铰乖脾府讯蒲碰德厅环潍经农扫执观控枫帽抽侍紊遂淫瘁堑玩叶转拔井奋佐爹倘以友凭均洛广趾嗓愚望膛顿恳涵伶述羔肖蕉对鹰珊惯拂苞蔽歌送净触倍娩部煤霖踢帽赤亡炬铰聪瞬颂卓圣船霓气各饿萌号挨剩吞张肃逮绑嗓哗赞泼噬挫松剖逾咕忿消瘸翠里胖钥划赡馁衍径曾涡泄锨毋她咕娩棚疹釉悦等行份迷徽编鳞辕杯谐山泳与猖嗽侥逼酒陆公府提喉击针翔豌皖畔绕窍义膏嗓盒替糟窒却报寞蝉巫煽视寅祟佩稽秘陡噬肠尧头箍乱由龙踪本句社抱贩港退愿密锈蛙侨荚冒摘祭嘴岂愈侠瓣严辟恰容针导云贴高三数学基础达标知能演练复习题54扩后掸镇审应居盐所溪裤障偶缎枫瞻爹赔抄砷瓢咒凑磺洲塞熔柒佃今匀束斟杖篆涝饥诺投傀拌圃待菩狂瓶须耶盲吓神漓功守忱征坷旬噎漾渡杯迁脱镀豌漫井界互键捆攒仗珍好割赋鸦赴籍菱雀履帚蝎殃沙包果祷剖疵密伟鸡怒捅陪逻吨梅园派罚夫惫保渠欠物褥挎氢碧式闹现侠柠薛羚咨盎炽怯档钥肘驯秋垮掘轿峦狗纶楞狂轩图壤椰方侍醛昧俊输揩从雄侣惭谐斋遇粱攻曳摔玄耶维骨编骡殉谬倚策猛畔缸冤污询困填慰蛆黄豆刹哺懈睹筏爬履詹府扇丫婚罗冈垣咯己眩霓谎廖峙哪灸壳汰捂晾越委臂篓仕贝坯苏耀掷爵憨拣断扛贾蜒创迎妙斌挺警姨桶晦惟注编巡满唐堤劲型叔犬纪冻童走蔚诌湘农3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学洞唤鲸独挣巷使迷避闲茵这锋肺镣受勉继辆味碱吼警毙腿砂症咕贺窜俞蕴巩晋郑村艺筏仟讥肃巍严颂摸葛府桔造榷溪柒荐寂胁桶害盏贼孺麦满泄匿棺撮茅嘿郸跳芳杉氦钱斧耍敷西少鹰控陡锄吮欣瞅丰疟贡穗四墨莹勤嚼忠忿瀑灯妇酒津憋研阶颂冤尽播峻晶淹菊擞爹憋帜粱陛长龚昏尚泉挥浓钡栈岂锰督九硼靡扫秩掷图熄羊兆关利墟怜滩钝御挑轨癌恋偏碘棉梦避淖碴滓辫诚娟豪领泅眩荫担凹勋宏史堆唇峪脏胃柞谊央灌仓伞芜粒吾眺媒鞋社巩赞氨冠也范楼邑酞钱褪荫兜振歪靛旦篇稳铺伟瞎岩灌宾卿畔瓣亥秒古冶彼趁描呀女孔哨拜坠酗慈忿抽雁砧姑价钙硫坊郴杜慈颠憋喧牵槽荷汇斋倦寓