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专题三　数　　列

第10讲　等差数列与等比数列

1. 已知在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．
答案：13
解析∵ a3＝7，a5＝a2＋6，∴ 3d＝6，∴ a6＝a3＋3d＝13.
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________．
答案：
解析：∵ 6S5－5S3＝5，∴ 6(5a1＋10d)－5(3a1＋3d)＝5，得a1＋3d＝.
3. 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15.若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和为________．
答案：90
解析：an＝3n，bn＝6n.
4. 已知等比数列{an}的公比q>0，且a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________．
答案：
解析：a2＝1an＋2＋an＋1＝6an，∴ q2＋q＝6(q＞0)，∴ q＝2，则S4＝.
5. 设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________．
答案：15
解析：＝＝＝15.
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．
答案：4
解析：设公差为d，则
即又a4＝a1＋3d，由线性规划可知a1＝1，d＝1时，a4取最大值4.
7. 在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为前________项的和．
答案：19
8. 设Sn、Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项和，已知＝，n∈N*，则＋＝____________.
答案：
解析：＋＝＋＝＝＝＝.
9. 已知通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是____________．
答案：－＜a＜－
解析：a1－；
an>an＋1对n≥8恒成立，得a<－，得a<－.
10. 设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和，记Tn＝，n∈N＋，设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝__．
答案：4
解析：不妨设a1＝1，则an＝()n－1，an＋1＝()n，
Sn＝＝，S2n＝＝，
Tn＝＝
＝－，
因为函数g(x)＝x＋(x＞0)在x＝4时，取得最小值，
所以Tn＝－在an＋1＝4时取得最大值，此时an＋1＝()n＝4，解得n＝4，即T4为数列{Tn}的最大项，则n0＝4.
11. 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋…＋，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1) 设公差为d，则解得或(舍去)　∴ an＝2n－1(n∈N*)．
(2) n＝1时，a1＝，a1＝1，∴ b1＝2；
n≥2时，an－1＝＋＋…＋，2＝an－an－1＝(n≥2)，bn＝2n＋1(n≥2)，
∴ bn＝Sn＝2n＋2－6(n∈N*)．
12. 在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0，q≠1)．
(1) 求证：数列{an＋1－an}为等比数列；
(2) 若a6，a3，a9成等差数列，问对任意的n∈N*，an＋3，an，an＋6是否成等差数列？说明理由．
(1) 证明：由an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，
得an＋1－an＝q(an－an－1)．又a2－a1＝1，q≠0，
所以数列{an＋1－an}为等比数列．
(2) 解：由(1)得an＋1－an＝qn－1(q≠1)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝qn－2＋qn－3＋…＋q＋1＋1＝1＋.
因为2a3＝a6＋a9，所以a3－a6＝a9－a3，
即q5－q2＝q2－q8.因为q≠0，所以q3－1＝1－q6.
因为an－an＋3＝＝(q3－1)，
an＋6－an＝＝(1－q6)．
所以an－an＋3＝an＋6－an，即2an＝an＋3＋an＋6.
所以，对任意的n∈N*，an＋3，an，an＋6成等差数列．
13. 已知等差数列{an}的首项a1≠0，公差d≠0，由{an}的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝2，b3＝6.
(1) 求数列{bn}的通项公式bn；
(2) 若数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的值；
(3) 求An＝Sn－的最小值．
解：(1) 由a＝a1a6，得(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，d2－3a1d＝0.
又d≠0，所以d＝3a1，所以q＝4，所以abn＝a1·4n－1.
又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1＋(bn－1)3a1，
所以a1·4n－1＝a1＋(bn－1)3a1.
因为a1≠0，所以3(bn－1)＋1＝4n－1，故bn＝＋.
(2) Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝(1＋4＋…＋4n－1)＋
＝·＋
＝.
(3) 由Sn＝，得An＝Sn－＝(4n－2 006n－1)，若存在n∈N*，使得An≤An＋1，且An≤An－1，则An的值最小．
于是由
解得≤4n≤(n∈N*)，
取n＝5，(An)min＝－.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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