高三数学能力提升达标检测53.doc

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技能演练
基 础 强 化
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C.，或 D.，或
解析　由余弦定理，得cosB＝＝＝，又0a，∴C＝45°，或135°，故B＝105°，或15°.
答案　D
4．已知三角形的三边之比为a:b:c＝2:3:4，则此三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析　设三边长为2a,3a,4a(a>0)，它们所对的三角形内角依次为A，B，C.
则cosC＝＝－<0，
∴C为钝角．故该三角形为钝角三角形．
答案　B
5．在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　)
A．a>bsinA B．a＝bsinA
C．a的直角三角形
B．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析　解法1：由2A＝B＋C，知A＝60°.
又cosA＝，
∴＝
∴b2＋c2－2bc＝0.
即(b－c)2＝0，∴b＝c.
故△ABC为等边三角形．
解法2：验证四个选项知C成立．
答案　C
7．在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC的长为____________．
解析　由A＋B＋C＝180°，求得B＝60°.
∴＝⇒BC＝＝＝.
答案　
8．△ABC中，已知a＝，c＝3，B＝45°，则b＝________.
解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝2＋9－2××3×＝5，∴b＝.
答案　
能 力 提 升
9．在△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．
解　解方程2x2－3x－2＝0，得x1＝－，x2＝2，而cosC为方程2x2－3x－2＝0的一个根，∴cosC＝－.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝a2＋b2＋ab.∴c2＝(a＋b)2－ab＝100－ab＝100－a(10－a)＝a2－10a＋100＝(a－5)2＋75≥75，∴当a＝b＝5时，cmin＝5.从而三角形周长的最小值为10＋5.
10．在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝－lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解　∵lgsinB＝－lg，∴sinB＝.又∵B为锐角，∴B＝45°.∵lga－lgc＝－lg，∴＝.
由正弦定理，得＝.
即2sin(135°－C)＝sinC.
∴2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝sinC.
∴cosC＝0，∴C＝90°，∴A＝B＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
品 味 高 考
11．(2010·重庆)设△ABC的角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.
(1)求sinA的值；
(2)求的值．
解　(1)由余弦定理，得cosA＝，
又∵3b2＋3c2－3a2＝4bc，
∴cosA＝，∴sinA＝＝.
(2)由(1)知1－cos2A＝2sin2A＝，
sin＝sin＝sin，
∴2sin(A＋)sin(A－)
＝2·(sinA＋cosA)·(sinA－cosA)
＝sin2A－cos2A＝－＝－，
∴
＝＝－.
12．在△ABC中，A、B为锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2A＝，sinB＝.
(1)求A＋B的值；
(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．
解　(1)∵A，B为锐角，sinB＝，
∴cosB＝＝.
又cos2A＝1－2sin2A＝，
∴sinA＝，cosA＝＝，
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝×－×＝.
∵0
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
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