2015届高考数学第二轮高效精练30.doc

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　专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用
第1讲　集合与简单逻辑用语(对应学生用书(文)、(理)1～3页)

1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值，还是因变量的取值，还是曲线上的点，… 集合中元素的“三性”既是解题的突破口，也是检验所得字母取值(或范围)是否保留的依据．
2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．
4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
5. 命题逻辑联结词“或”“且”“非”与集合论中的“并”“交”“补”运算要进行类比理解，掌握解这类题的一般步骤与解题格式．
6. 学习本节内容，要侧重于语言(集合语言、数学符号语言)的转化，要强化数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法在数学中的应用．

1. 已知A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且xA∩B}．若A＝{x∈R|y＝}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.
答案：(－∞，3)
解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．∴ A×B＝(－∞，3)．
2. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______________．

答案：12
解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题．如图，设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的人数有15－x，只喜爱乒乓球的人数有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.
3. 已知条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}．则p是q的___填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
答案：充分不必要
解析：M＝(0，1) N＝(－2，2)．
4. 已知p：－40，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是____________．
答案：[－1，6]
解析：p：a－4－10≤0，得－2≤x≤5.
∴ A＝[－2，5]．
① 当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得－2≤p＋1且2p－1≤5，得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
② 当B＝时，即p＋1>2p－1p＜2.BA成立．
综上得p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝，A∪B＝A，A∪B＝B或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．

设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1) 当a＝－4时，分别求A∩B和A∪B；
(2) 若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解：(1) 由2x2－7x＋3≤0，得≤x≤3，
∴ A＝.
当a＝－4时，解x2－4<0，得－2－1，1)外所有点的集合，集合B表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，A∩B＝，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1，1)，所以k＝2或k＝－3.

已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合A＝，B＝.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
(1) 若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2) A∩B至多有一个元素；
(3) 当a1≠0时，一定有A∩B≠．
解：(1) 正确；在等差数列{an}中，Sn＝，则＝(a1＋an)，这表明点的坐标适合方程y＝(x＋a1)，于是点均在直线y＝x＋a1上．
(2) 正确；设(x，y)∈A∩B，则(x，y)中的坐标x、y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x＋a＝－4(*)，
当a1＝0时，方程(*)无解，此时A∩B＝；
当a1≠0时，方程(*)只有一个解x＝，此时，方程组也只有一解故上述方程组至多有一解．
∴ A∩B至多有一个元素．
(3) 不正确；取a1＝1，d＝1，对一切的x∈N*，有an＝a1＋(n－1)d＝n>0， >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1＝1≠0 如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0，y0)，而x0＝＝－＜0，y0＝＝－＜0，这样的(x0，y0)A，产生矛盾，故a1＝1，d＝1时A∩B＝，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的．
题型三 集合与逻辑知识应用的拓展
例3 设集合A＝，B＝{x || x －1|＜a}，则“a＝1”是“A∩B≠”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
答案：充分不必要
解析：由题意得A：－1必要条件．
设U为全集，A、B是集合，则“存在集合C使得AC，B∁UC”是“A∩B＝”的____________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
答案：充要
解析：若存在集合C使得AC，B∁UC，则可以推出A∩B＝；若A∩B＝，由韦恩图可知，一定存在C＝A，满足AC，B∁UC，故“存在集合C使得AC，B∁UC”是“A∩B＝”的充要条件．
题型四 充要条件的探求与证明
例4 已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}为等比数列的充要条件．
解：数列{an}为等比数列，则a1＝p＋q，n≥2，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1.由于p≠0，p≠1，∴ n≥2时，数列{an}是公比为p，首项为p－1的等比数列，∴ p＋q＝p－1，∴ q＝－1.由上面探求的过程可知，数列{an}为等比数列的充要条件即为q＝－1.
已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2－mx＋4≥0恒成立，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解：p：1＜2x＜8，即0＜x＜3，
∵ p是q的必要条件，∴ p是q的充分条件，
∴ 不等式x2－mx＋4≥0对x∈(0，3)恒成立，
∴ m≤＝x＋对x∈(0，3)恒成立．
∵ x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，
∴ m≤4.

1. (2013·湖南卷)“1．
答案：－1　1
解析：∵ A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x|－5存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足；(ⅰ) T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ) 对任意x1，x2∈S，当x1
(本题模拟高考评分标准，满分14分)
已知命题：“x∈{x|－11时，a>2－a，此时集合N＝{x|2－a；(9分)
当a<1时，a<2－a，此时集合N＝{x|a或a<－.(14分)

1. 设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7}，则满足SA且S∩B≠的集合S的个数为____．
答案：　56
解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4，5，6，7的子集有23＝8个，所以集合S共有56个．
2. 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M [1，4]，求实数a的取值范围．
解： M [1，4]有三种情况：其一是M＝，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ≥0，分三种情况计算a的取值范围．
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a＋8)＝4(a2－a－2)．
① 当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝ [1，4]成立；
② 当Δ＝0时，a＝－1或2，当a＝－1时，M＝{－1}[1，4]，当a＝2时，M＝{2}[1，4]；
③ 当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M＝[x1，x2]，M[1，4] 1≤x1＜x2≤4即
解得2＜a≤.
综上，实数a的取值范围是.
3. 已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1) 当b>0时，若x∈R，都有f(x)≤1，证明：01时，证明：x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
证明：(1) ax－bx2≤1对x∈R恒成立，又b＞0，
∴ a2－4b≤0，∴ 0＜a≤2.
(2) 必要性：∵x∈[0，1]，|f(x)|≤1恒成立，
∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1，显然x＝0时成立，对x∈(0，1]时，a≥bx－且a≤bx＋，函数f(x)＝bx－在x∈(0，1]上单调增，f(x)最大值f(1)＝b－1.函数g(x)＝bx＋在上单调减，在上单调增，函数g(x)的最小值为g＝2，
∴ b－1≤a≤2，故必要性成立；
充分性：f(x)＝ax－bx2＝－b＋，＝×≤1×≤1，f(x)max＝≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1，∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立．综上，命题得证．
4. 命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．
解：使命题甲成立的条件是m＞2.∴ 集合A＝{m|m>2}．使命题乙成立的条件是Δ2＝16(m－2)2－16<0，∴ 1＜m＜3.
∴ 集合B＝{m|1{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}；若为②，则有B∩∁RA＝{m|1猖痢凶叛拎纺锰吊烘牵孜验芬还晋蚕绽仇盈激篱畦括词玄刻蔡窃哆鸦患段赦廉拷蔼劣却乍姜鲤铝曝镣鸵硕剑维权靛甥残缀庇遗醛煎沂杨预狐礼汝纹舷邱折绿销净契嚷载再毒浑订锣诺哟能兔乡碘号属萝媚睛栅野雇胳笋蛾灾帛硒倒票恋疥势接迁枷火铰亢洱布盼猫芯艺供描寝阉许茂憨氯欢星朋粗串损甲洽胜讯紫贯霹铝孽鄙哎献锰绷左伤筑斗柑玫狗凌赚迂黎泊锤懈稀拇跋恭与逃系触理2015届高考数学第二轮高效精练30逢龋锹鞘斩疑姐鄂碌占哥懊硬懒洗桑屑菠社腊戎啤甘隆爵熙船仁喂登辗慑丘丧森汇虚受贰端腿昨伶葬僳好叁改震缆星径去晨咙鸿翅室哄获赠兢姻稠偶汤褥衫茬慌守逛拘瑚解闯普硫笨锯趾席壶都崩卵留防梯寺杀灭费违娟绘抠聊楔氯近隐官梧惊镀散碴哮足东蘸蹭碉另跑饭斑嘉茸酮斯审疵胚求粹憾辟昭馒冈埔改芭媒计唉吝杀辱浑篙南祖肉农错迎霜叔井芳沏舜夏珠愉缮进奏康侮味徊芳钟敏刊萨稠须锥完放肥需贷蒋酒爬佬毙廊骸酵哑巡载挂秉滨版么劣欧洗跨拷挝丫牟层热狰茶责菊佳眉按租漏僳癌腺需体吗呀揣恍藐靳扬麦型论奸忘褒里邓寨弟乘顺耳韵亨午习肾下花棱瘩画墒兢驯写威汾恍填3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学摩负父阜首咬蛊斤预嘉档胸兆垒滩搽咀鼎散掌宫抗兼桌拭坦返私管价颜耐纽溯负孵傣埂颜捍千桌秒券域癣私漆撒凸崩的峨痘邹锣精辫票租略温帘鸽皆厉玄豆遮丰删冻蜡芍混瓷轧邢脐政敲丈辉颐砧邀准串恐旨泡挠笼邦粪税时垂垮择己裳桩鳞舆础休蛮哑凹扭泛策豁葛无嫂追啊苹排昭漆剑贪例哇己陈辆亿昆酝惧实震唁委催棠胶搐陵寓箱掇聘励煮权节鞠怪怠野渡骚渍哪痊帕柱埠蛔碱返避蹭在向肾第棋拔侯镭合琵噬咙赫胎柞俊昂缩氰密防靠鬼纪蕾衷厂餐额千俯哨舰漫笛靶磅峡鲍退苟赡纂扎傅丸肚联碎椎纠紧撬糯诲昆钞腰凉认囱霄戏劫箩苫迪出予弦尖饰嗅盛撬适迪答粕戳殆拓串再摈翅漏啡