2017届江苏高考理科数学考点专题复习检测39.doc

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训练目标
(1)平面向量知识的灵活应用；(2)学生创新能力的培养.
训练题型
(1)平面向量与其他知识的综合应用；(2)与平面向量有关的新定义问题.
解题策略
(1)利用平面向量的概念及运算将综合问题转化，脱去向量外衣后观察条件的实质；(2)从新定义出发，对条件转化，化为学过的知识后求解.
1．已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且对于任意实数x，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，设a，b的夹角为θ，则sin θ＝________.
2．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
3．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定m，n之间的一种运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)．若a＝(－1，－2)，a⊗b＝(4,5)，则b＝________.
4．(2015·宜昌一模)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为________．
5．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝________.
6．已知O是△ABC所在平面内一点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
7．设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为________．
8．若函数f(x)＝2sin(x＋)(－2y，求k的最小值．
答案解析

1.
解析　

如图所示，当(a＋b)⊥b时，对于任意实数x，a＋xb＝或a＋xb＝，
三角形中斜边大于直角边恒成立，不等式恒成立．
因为(a＋b)⊥b，|a|＝，|b|＝1，
所以tan α＝，tan θ＝－，sin θ＝.
2.
解析　在△ABC中，·＝||·||·cos A＝tan A，
∴||·||＝＝＝.
由三角形面积公式，得S＝|AB|·|AC|sin A＝××＝.
3．(－，)
解析　设b＝(x，y)，由题设的运算规则得a⊗b＝(－x＋2y，－y－2x)＝(4,5)，
所以解得∴b＝(－，)．
4.
解析　由题设得3＋5＝－4，两边平方得9＋2×3×5·＋25＝16，
∴cos∠AOC＝－，∴sin∠AOC＝，S△AOC＝×1×1×＝.

5.
解析　a∘b＝＝＝，①
b∘a＝＝＝.②
∵θ∈，∴0，∴0<≤1.
∴0＝||－||＝0，得·＝0，
因此点P在过A且垂直BC的直线上，从而动点P的轨迹一定过△ABC的垂心．
7.
解析　设S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，
若S的表达式中有0个a·b，则S＝2a2＋2b2，记为S1，
若S的表达式中有2个a·b，则S＝a2＋b2＋2a·b，记为S2，
若S的表达式中有4个a·b，则S＝4a·b，记为S3.
又|b|＝2|a|，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2>0，
S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3夹角为θ，
则Smin＝4a·b＝8|a|2cos θ＝4|a|2，即cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
8．32
解析　由f (x)＝0，解得x＝4，
即A(4,0)，过点A的直线l与f(x)的图象交于B、C两点，根据对称性可知，A是线段BC的中点，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝32.

9．(1,0)
解析　设p＝(x，y)，∵mD○×p＝m，
即(a，b)D○×(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，∴
即由于对任意向量m＝(a，b)，都有(a，b)D○×(x，y)＝(a，b)成立，
∴解得∴p＝(1,0)．
10．解　(1)由＝，且A，B，D三点共线，可知||＝||.
又AD＝5，所以DB＝11.
在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，
在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，
所以BC＝14.所以|－|＝||＝14.
(2)由(1)知||＝16，||＝10，||＝14，
在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝.
由x＝＋t，y＝t＋，
知k＝x·y＝(＋t)·(t＋)＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2
＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t＝80t2＋356t＋80.
由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，k取得最小值516.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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