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1、 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若 令，则 令，则 令，则 从而解得 令，则 故成立。 令，则 故此时， 故 具有3次代数精度。 （2）若 令，则 令，则 令，则 从而解得 令，则 故成
2、立。 令，则 故此时， 因此， 具有3次代数精度。 （3）若 令，则 令，则 令，则 从而解得 或 令，则 故不成立。 因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若 令，则 令，则 令，则 故有 令，则 令，则 故此时， 因此， 具有3次代数精度。 2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： 解： 复化梯形公式为 复化辛普森公式为 复化梯形公式为 复化辛普森公式为 复化梯形公式为 复化辛普森公式为 复化梯形公式为 复
3、化辛普森公式为 3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。 证明： 柯特斯公式为 令，则 令，则 令，则 令，则 令，则 令，则 令，则 因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。 4。用辛普森公式求积分并估计误差。 解： 辛普森公式为 此时， 从而有 误差为 5。推导下列三种矩形求积公式： 证明： 两边同时在上积分，得 即 两边同时在上积分，得 即 两连边同时在上积分，得 即 6。若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？若改用
4、复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？ 解： 采用复化梯形公式时，余项为 又 故 若，则 当对区间进行等分时， 故有 因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为 又 若，则 当对区间进行等分时 故有 因此，将区间8等分时可以满足误差要求。 7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。 解：采用梯形公式计算积分时，余项为 又且 又 即计算值比准确值大。 其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。 8。用龙贝格求积方法计算下列积分，
5、使误差不超过. 解： 0 0.7717433 1 0.7280699 0.7135121 2 0.7169828 0.7132870 0.7132720 3 0.7142002 0.7132726 0.7132717 0.7132717 因此 0 3.451313 1 8.628283 -4.446923 因此 0 14.2302495 1 11.1713699 10.1517434 2 10.44
6、37969 10.2012725 10.2045744 3 10.2663672 10.2072240 10.2076207 10.2076691 4 10.2222702 10.2075712 10.2075943 10.2075939 10.2075936 5 10.2112607 10.2075909 10.2075922 10.2075922 10.2075922 10.2075922 因此 9。用的高斯-勒让德公式计算积分 解： 令，则 用的高斯—勒让德公式计算积分 用的高斯—勒让德公式计算积分
7、 10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是 这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则 我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。 解： 从而有。 0 1.564640 1 1.564646 1.564648 2 1.564646 1.564646 1.564646 即人造卫星轨道的周长为48708km 11。证明等式 试
8、依据的值，用外推算法求的近似值。 解 若 又 此函数的泰勒展式为 当时, 当时, 当时, 由外推法可得 n 3 2.598076 6 3.000000 3.133975 9 3.105829 3.141105 3.141580 故 12。用下列方法计算积分，并比较结果。 (1)龙贝格方法； (2)三点及五点高斯公式； (3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解 (1)采用龙贝格方法可得 k 0 1.333333 1 1.166667 1.0
9、99259 2 1.116667 1.100000 1.099259 3 1.103211 1.098726 1.098641 1.098613 4 1.099768 1.098620 1.098613 1.098613 1.098613 故有 (2)采用高斯公式时 此时 令则 利用三点高斯公式，则 利用五点高斯公式，则 (3)采用复化两点高斯公式 将区间四等分，得 作变换，则 作变换，则 作变换，则 作变换，则 因此，有 13.用三点公式和积分公式求在，和1.2处的导数值，并估计误差。的值由下表给出： x 1.0 1.1 1.2 F(x) 0.2500 0.2268 0.2066 解： 由带余项的三点求导公式可知 又 又 又 故误差分别为 利用数值积分求导， 设 由梯形求积公式得 从而有 故 又 且 从而有 故 即 解方程组可得
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