数值分析第4章答案.doc

第四章 数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

解：
求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若
令，则

令，则

令，则

从而解得

令，则

故成立。
令，则

故此时，

故
具有3次代数精度。
（2）若
令，则

令，则

令，则

从而解得

令，则

故成立。
令，则

故此时，

因此，

具有3次代数精度。
（3）若
令，则

令，则

令，则

从而解得
或
令，则

故不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若
令，则

令，则

令，则

故有

令，则

令，则

故此时，

因此，
具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

解：

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

复化梯形公式为

复化辛普森公式为

3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。
证明：
柯特斯公式为

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。用辛普森公式求积分并估计误差。
解：
辛普森公式为

此时，

从而有

误差为

5。推导下列三种矩形求积公式：

证明：

两边同时在上积分，得

即

两边同时在上积分，得

即

两连边同时在上积分，得

即

6。若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？
解：
采用复化梯形公式时，余项为

又
故

若，则

当对区间进行等分时，

故有

因此，将区间213等分时可以满足误差要求
采用复化辛普森公式时，余项为

又

若，则

当对区间进行等分时

故有

因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为

又且

又

即计算值比准确值大。
其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。
8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过.

解：

0
0.7717433

1
0.7280699
0.7135121

2
0.7169828
0.7132870
0.7132720

3
0.7142002
0.7132726
0.7132717
0.7132717
因此

0
3.451313

1
8.628283
-4.446923
因此

0
14.2302495

1
11.1713699
10.1517434

2
10.4437969
10.2012725
10.2045744

3
10.2663672
10.2072240
10.2076207
10.2076691

4
10.2222702
10.2075712
10.2075943
10.2075939
10.2075936

5
10.2112607
10.2075909
10.2075922
10.2075922
10.2075922
10.2075922
因此
9。用的高斯-勒让德公式计算积分

解：

令，则
用的高斯—勒让德公式计算积分

用的高斯—勒让德公式计算积分

10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是

这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则

我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。
解：

从而有。

0
1.564640

1
1.564646
1.564648

2
1.564646
1.564646
1.564646

即人造卫星轨道的周长为48708km
11。证明等式

试依据的值，用外推算法求的近似值。
解
若
又
此函数的泰勒展式为

当时,
当时,
当时,
由外推法可得
n

3
2.598076

6
3.000000
3.133975

9
3.105829
3.141105
3.141580

故
12。用下列方法计算积分，并比较结果。
(1)龙贝格方法；
(2)三点及五点高斯公式；
(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。
解

(1)采用龙贝格方法可得
k

0
1.333333

1
1.166667
1.099259

2
1.116667
1.100000
1.099259

3
1.103211
1.098726
1.098641
1.098613

4
1.099768
1.098620
1.098613
1.098613
1.098613

故有
(2)采用高斯公式时

此时
令则

利用三点高斯公式，则

利用五点高斯公式，则

(3)采用复化两点高斯公式
将区间四等分，得

作变换，则

作变换，则

作变换，则

作变换，则

因此，有

13.用三点公式和积分公式求在，和1.2处的导数值，并估计误差。的值由下表给出：
x
1.0 1.1 1.2
F(x)
0.2500 0.2268 0.2066
解：

由带余项的三点求导公式可知

又

又

又

故误差分别为

利用数值积分求导，
设

由梯形求积公式得

从而有

故

又
且
从而有

故
即

解方程组可得