湖南省郴州市嘉禾县第一中学2022年高二数学文联考试题含解析.docx

湖南省郴州市嘉禾县第一中学2022年高二数学文联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则p是q的(　 　)
A．充分不必要条件  B．必要不充分条件
C．充要条件      D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
2. (2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)
A．0            B．1               C．-1        D．2
参考答案：
A
3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
参考答案：
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．
【分析】由α⊥β，m?α，n?β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m?α，n?β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
【解答】解：选项A，若α⊥β，m?α，n?β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m?α，n?β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m?α，n?β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D．
4. 设是等差数列，是其前项和，且则下列结论错误的是
           和均为的最大值
参考答案：
C
5. 到定点(2,0)的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程（    ）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
设动点的坐标为（x，y），利用动点P到定点（2，0）的距离与到定直线x＝8的距离之比为可得方程，化简，由此能求出轨迹的方程．
【详解】解：由题意，设P（x，y），则 ，
化简得轨迹方程是x2+2y2+8x﹣56＝0．
故选A．
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查计算能力，属于基础题
6. 若直线不平行于平面，且，则                                   （ ▲ ）
A、内的所有直线与异面         B、内不存在与平行的直线
C、内存在唯一的直线与平行       D、内的直线与都相交
参考答案：
B
7. 一个长、宽分别为和1的长方形内接于圆（如下图），质地均匀的粒子落入图中（不计边界），则落在长方形内的概率等于

A. B.                 C. D.
参考答案：
A
8. 设i是虚数单位，若复数a－ (a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A．－3  B．－1 C．1  D．3
参考答案：
D
9. 已知是（    ）            
A.等边三角形    B等腰三角形    C直角三角形     D以上都不对
参考答案：
D
10. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是
A．              B．             C．             D．
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,则与的夹角为            
参考答案：

略
12.
窗体底端
窗体顶端

窗体底端
一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.

参考答案：

13. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则离心率e为___________。
参考答案：

略
14. 双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是______；
参考答案：

【分析】
根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.
【详解】解：根据双曲线的对称性可知，
等腰三角形的两个腰应为与或与，
不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限，
故，
等腰有一内角为，
即，
由余弦定理可得，，
由双曲线的定义可得，
，
即，
解得：.
【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.
15. 已知F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，则PA+PF1的最大值为　　．
参考答案：

考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 确定A在椭圆内部，利用最大PA+PF1=2a+AF2，即可求得结论．
解答： 解：由题意，A（1，1）在椭圆内部，椭圆长轴2a=10，右焦点坐标F2（4，0），则AF2==
所以最大PA+PF1=2a+AF2=10+
故答案为：
点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16. 观察1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…,猜想一般规律是_____.
参考答案：

分析：先观察前面4个式子的规律，再归纳出第n个式子.
详解：因为1=.
1+3=4=

1+3+5=9=，
1+3+5+7=16=，
所以猜想第n个式子：.
故答案为：
点睛：本题主要考查归纳推理，意在考查学生对该知识的掌握水平和归纳推理能力.
17. 已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的　　条件．
参考答案：
充分不必要
考点： 充要条件．
专题： 阅读型．
分析： 先求出条件q满足的条件，然后求出?p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题?p的关系．
解答： 解：条件q：，即x＜0或x＞1
￢p：x＞1
∴￢p?q为真且q?￢p为假命题，
即?p是q的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
点评： 判断充要条件的方法是
①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分)已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
参考答案：

②当p假，q真时，＝.
综上所述，实数c的取值范围是.
19. （本小题满分12分）
椭圆的中心为坐标原点，右焦点为 ，且椭圆过点．的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且．若直线的斜率之和为，求证：为定值．
参考答案：
（1）设椭圆的方程为，
由题意知：左焦点为，所以，
解得， ，
故椭圆的离心率为．………………………4分
（2）由（1）知椭圆的方程为
设，，
由：，，两式相减，得到

所以，即， …………………9分
同理，
所以，又因为直线的斜率之和为0，
所以                         …………………………12分
20. 已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求函数f(x)的极值；
（2）若函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，求k的取值范围.
参考答案：
（I）当时，，
，令，解得，          
当变化时，，的变化情况如下表

0
+

单调递减↘
1
单调递增↗

因此，当时，有极小值，并且极小值为
（II）,由于函数在区间上是增函数
所以，令，则
即在上恒成立                       
设，则在上为增函数，         
∴                           
∴，即的取值范围是．          
21. 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
参考答案：
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．
（2）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到
|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．
【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），
由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）
∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．
故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．
（2）设PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
设O为坐标原点，则ON⊥PQ，
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，
所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．

22. 在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 、 的距离之和等于4，设点 P 的轨迹为 C ，直线 y ＝ kx +1与 C 交于 A 、 B 两点．
（1）写出 C 的方程；
（2）若 ，求 k 的值；
（3）若点 A 在第一象限，证明当 k ＞0时，恒有 .
参考答案：
（1） 解： 设 P ( x ， y )，由椭圆的定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 、 为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴 ，
故曲线 C 的方程为 .
（2） 解： 设 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )，其坐标满足
消去 y 并整理得( k 2 +4) x 2 +2 kx －3＝0，
故 ，
若 ，则 x 1 x 2 + y 1 y 2 ＝0.
而 y 1 y 2 ＝ k 2 x 1 x 2 + k ( x 1 + x 2 )+1，
于是 ，
化简得－4 k 2 +1＝0，所以 .
（3）证明：

.
因为点 A 在第一象限，故 x 1 ＞0.
由 知 x 2 ＜0，
从而 x 1 － x 2 ＞0.
又 k ＞0，故 ，
即在题设条件下，恒有 .
略