浙教版(九上)第4章质量评估试卷上册(含答案).doc

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第4章质量评估试卷
[时间：90分钟　分值：120分]

一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四条线段成比例的是 (　A　)
A．a＝2，b＝，c＝，d＝2
B．a＝，b＝3，c＝2，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝2，b＝8，c＝15，d＝11
【解析】 ∵＝，∴A中的四条线段成比例，应选A.其他选项四条线段不成比例．
2．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
(1)＝；(2)＝；
(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′.
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(　C　)
A．1组　　 B．2组　　 C．3组　　 D．4组
【解析】 (1)(2)，(3)(4)，(2)(4)能判定△ABC∽△A′B′C′，故选C.
3．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的有 (　C　)
A．∠ADE＝∠CDE
B．DE⊥EC
C．AD·BC＝BE·DE
D．CD＝AD＋BC

图1　　　 图2
4．如图2，ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有 (　B　)
A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个
【解析】∵DE∥AB
∴△DEF∽△ABF；
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△ECB；
因此与△DEF相似的三角形有2个．
5．如图3，P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是 (　B　)

图3
A.＝ B.＝
C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【解析】A正确，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
B不正确，不符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
C正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
D正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似．
故选B.
6．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 (　A　)
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
7．如图4，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，下列选项正确的是 (　B　)

图4
A．DE∶BC＝1∶2
B．AE∶AC＝1∶3
C．BD∶AB＝1∶3
D．S△ADE∶S△ABC＝1∶4
【解析】 ∵AD∶DB＝1∶2，∴AD∶AB＝1∶3，BD∶AB＝2∶3.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AE∶AC＝AD∶AB＝DE∶BC＝1∶3，S△ADE∶S△ABC＝
＝1∶9.
8．如图5，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为 (　C　)

图5
A.　　　 B．4　　　 C.　　　 D．7
【解析】∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝∠D，
∵∠BAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△AEB，
∴＝，
∴AB2＝3×7＝21，
∴AB＝.
故选C.
9．如图6所示，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为 (　A　)
A．9 B．12
C．15 D．18
【解析】 因为∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B＝60°，所以∠BAD＝∠CDE.又∠B＝∠C，所以△ABD∽△DCE，所以＝，即＝，解得AB＝9.

图6 　　图7
10．如图7，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是 (　C　)

【解析】 由题意可知△ADE∽△DPC，∴＝，即＝，∴xy＝12，y＝，为反比例函数，应从C，D里面进行选择．由于x最小应不小于CD，最大不超过BD，∴3≤x≤5.故选C.
二、填空题(每题4分，共24 分)
11．如图8所示，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC.若DE＝2 cm，BC＝3 cm，EC＝ cm，则AC＝__2__cm.

图8
【解析】 设AE＝x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，解得x＝(cm)，∴AC＝AE＋EC＝＋＝2(cm)．

图9
12．如图9，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD边于点E，交对角线AC于点F，若＝，则＝____.
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB.∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE.∵＝，∴＝.∵AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴＝＝，∴＝＝，∴＝.
图10
13．如图10所示，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，使得它们重叠(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是__－1__．
【解析】 ∵△A′BD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴A′B＝1，∴AA′＝－1.
14. 如图11，△ABC中，D，KE分别为AC，BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD＝5，CD＝3，DE＝4，则BF的长为____．

图11
【解析】∵AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，
∵AD＝5，CD＝3，DE＝4，∴AC＝CD＋AD＝8，
∴＝，即＝，
∴AB＝.
又CF为AB边上的中线，
∴F为AB的中点，
∴BF＝AB＝.
图12
15．将三角形纸片(△ABC)按如图12所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是__或2__．
【解析】 分两种情况讨论，设BF＝B′F＝x，
(1)当∠B′FC＝∠B时，△CB′F∽△CAB，
∴＝，即＝，解得x＝；
(2)当∠B′FC＝∠A时，△FB′C∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝2.
∴BF的长为或2.
图13
16.如图13，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC.点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF.给出以下四个结论：①＝；②FG＝FB；③AF＝AB；④S△ABC＝5S△BDF，其中正确结论的序号是__①②③__．
【解析】 ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC.∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴＝.
∵BA＝BC，
∴＝，
故①正确；
∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，
∴∠ABG＋∠BDE＝∠BDE＋∠BCD＝90°，
∴∠ABG＝∠BCD.
在△ABG与△BCD中，∠GAB＝∠DBC＝90°，∠ABG＝∠BCD，
∴△ABG∽△BCD，∴＝，∴＝.
∵AB＝CB，点D是AB的中点，
∴BD＝AB＝CB，
∴＝.
∵＝，
∴FG＝FB，
故②正确；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF∶CF＝AG∶BC＝AG∶AB＝1∶2，
∴AF＝AC.
∵AC＝AB，
∴AF＝AB，
故③正确；
∵BD＝AB，AF＝AC，
∴S△BDF＝S△ABF，S△ABF＝S△ABC，
∴S△ABC＝6S△BDF，
故④错误．
故答案为：①②③.
三、解答题(共66分)
17．(6分)如图14，BD与CE相交于点A，已知AB＝6，AC＝4，AD＝3，且△ABC∽△ADE，求AE的长．

图14
解：∵△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∴AE＝2.
18．(6分)已知＝＝＝，求下列各式的值：
(1)；(2).
解：(1)∵＝＝，∴＝.
(2)∵＝＝＝，∴＝＝＝，
∴＝.

图15
19．(6分)如图15，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB＝6，AD＝4，设OM＝x，ON＝y，求y与x的函数关系式．
解：作OF⊥BC于点F，OE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°.
∵OF⊥BC，OE⊥CD，即∠OFC＝∠OEC＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EON＋∠FON＝90°.
∵ON⊥OM，∴∠FOM＋∠FON＝90°，
∴∠EON＝∠FOM，
∴△OEN∽△OFM，
∴＝.
∵O为矩形ABCD的中心，
∴＝＝＝，
∴＝，
即y＝x.
图16
20．(8分)如图16，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°.
求证：(1)AD＝BD＝BC；
(2)点D是线段AC的黄金分割点．
证明：(1)∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝72°.
∵∠A＝36°，∠ADB＝108°，
∴∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°，
∴△ADB、△BDC是等腰三角形，
∴AD＝BD＝BC.
(2)∵∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，∴BC∶DC＝AC∶BC.
∵BC＝AD，∴AD∶DC＝AC∶AD，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
21．(8分)某社区拟筹资2 000元，计划在一块上、下底分别是10 m，20 m的梯形空地上种植花木，如图17所示，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．

图17
【解析】 求出△BMC的面积后，就能知道资金是否够用，而△BMC的面积可由△AMD的面积求得．
解：梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB.
又AD＝10 m，BC＝20 m，
∴＝＝＝.
∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)，
∴S△BMC＝200 m2，
∴还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000(元)，
∴资金不够用．
22．(10分)如图18所示，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.
求证：(1)∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；
(2)AB2＝AE·AC.

图18
证明：(1)在△ADE和△ACD中，
∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAE，
∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC.
∵∠AED＋∠DEC＝180°，
∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠DEC＝∠ADB.
又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，
∴∠DEC＝∠B.
(2)∵△ADE∽△ACD，∴＝，
即AD2＝AE·AC.
又∵AB＝AD，∴AB2＝AE·AC.
23．(10分)在圆内接四边形ABCD中，CD为△BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于点E.
求证：(1)△ABD为等腰三角形；
(2)AC·AF＝DF·FE.

图19
证明：(1)由“圆的内接四边形的外角等于它的内对角”知∠MCD＝∠BAD.又∠DCA＝∠DBA，
∠MCD＝∠DCA，∴∠DBA＝∠DAB，
∴△ABD为等腰三角形．
(2)∵∠DBA＝∠DAB，∴＝.
又∵BC＝AF，∴＝，
∴＝，∴CD＝DF.
再由“圆的内接四边形的外角等于它的内对角”知，
∠AFE＝∠DCA，∠FAE＝∠BDE，
∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，∴△DCA∽△AFE，
∴AC∶FE＝CD∶AF，∴AC·AF＝CD·FE.
∵CD＝DF，∴AC·AF＝DF·FE.
24．(12分)如图20，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D.
求证：(1)D是BC的中点；
(2)△BEC∽△ADC；
(3)BC2＝2AB·CE.

图20
证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
即AD是底边BC上的高，
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；
(2)∵∠CBE与∠CAD是所对的圆周角，
∴∠CBE＝∠CAD，
又∵∠BCE＝∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；
(3)由△BEC∽△ADC，知＝，
即CD·BC＝AC·CE，
∵D是BC的中点，∴CD＝BD，
又∵AB＝AC，∴CD·BC＝AC·CE＝BD·BC＝AB·CE，

即BC2＝2AB·CE.
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