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概率论与数理统计练习题集及答案

一、选择题：
1．某人射击三次，以表示事件“第次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设随机事件与互不相容，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．随机变量的概率密度为，则（ ）
（A） （B）1 （C）2 （D）
5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知二维随机向量的分布及边缘分布如表，且与相互独立，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．设随机变量，随机变量，且与相互独立，则（ ）
（A）3 （B）6 （C）10 （D）12

9．设与为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若，则下列结论不正确的是（ ）
（A）与相互独立 （B）与不相关 （C） （D）

答案：
1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D
7. D 8. C 9. A

1．某人射击三次，以表示事件“第次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ）
（A） （B）
（C） （D）
2．将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
3．设随机事件与互不相容，且，则（ D ）
（A） （B） （C） （D）
4．随机变量的概率密度为，则（ A ）
（A） （B）1 （C） （D）
5．随机变量的分布函数，则（ B ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
6．已知随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知二维随机向量的分布及边缘分布如表，且与相互独立，则（ B ）
（A） （B） （C） （D）
8．设随机变量相互独立，且，服从参数为9的泊松分布，则（ C ）
（A）-14 （B）13 （C）40 （D）41
9．设为二维随机向量，则与不相关的充分必要条件是（ D ）
（A）与相互独立 （B） （C） （D）
一、填空题
1.设,是两个随机事件，，，若与互不相容，则= ；若与相互独立，则= .

2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为 .

3.设离散型随机变量的概率分布为，，则常数 .
4.设随机变量的分布函数为

则常数 ，= .
5.设随机变量的概率分布为

-1
0
1

0.3
0.5
0.2

则= .
6.如果随机变量服从上的均匀分布，且，，则= ，= .
7.设随机变量，相互独立，且都服从参数为的分布，则= .

8.设，是两个随机变量，，， ，，，则 = .

答案：
1. ， 2. 3. 4.， 5. 6. 1，5
7. 0.52 8. 21

1.设,是两个随机事件，，，则= .

2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为0.8，0.7，0.6，则密码能译出的概率为 .
3.设随机变量的概率分布为则= .
4.设随机变量的分布函数为，则 .
5.设随机变量服从上的均匀分布，则的数学期望为 .

6.设随机变量相互独立，其概率分布分别为

1 2

1 2

则= .

7.设，是两个随机变量，，，与相互独立，则 .

8.设随机变量相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，则 .

9.设随机变量和的相关系数为，，，则 = .

答案：
1. 0.7 2. 0.976 3. 4. 0.5 5.
6. 7. 8. 9. 6

二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.（1）求取到的是白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率.

解：设事件表示该球取自第个箱子，事件表示取到白球.

三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是. 在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取利润万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润万元；若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损万元. 求该厂一天可获取的平均利润.

设随机变量表示该厂一天所获的利润（万元），则可能取，且
，
，
.
所以（万元）

四、设随机向量的密度函数为. 求；
求的边缘密度，并判断与的独立性.

解：
(1) ；
(2)

由知随机变量相互独立.
五、设随机变量的密度函数为，求随机变量的密度函数.
解法一：的分布函数为
，
两边对求导，得

解法二：因为是上单调连续函数，所以

注：为的反函数。

二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件，他们生产的零件数之比为. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为. 现从三人生产的零件中任取一个. 求该零件是次品的概率；若已知该零件为次品，求它是由甲生产的概率.

解：设事件分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产，事件表示取到的零件是次品.
(1) ；
(2) .

三、设一袋中有6个球，分别编号1，2，3，4，5，6. 现从中任取2个球，用表示取到的两个球的最大编号. 求随机变量的概率分布；求.
解：可能取，且

所以的概率分布表为

且.

四、设随机向量的密度函数为.
求；
求的边缘密度，并判断与的独立性.
解：
(1) ；

(2)

由知随机变量相互独立.

五、设随机变量服从区间上的均匀分布，求随机变量的密度函数.

解法一：由题意知. 的分布函数为
，
两边对求导，得

解法二：因为是上单调连续函数，所以

注：为的反函数。

三、
已知一批产品中有90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率是0.04．求：
（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；
（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．
解：设“确实为合格品”，“确实为次品”， “判为合格品”
（1）

（2）

四、
设二维连续型随机向量的概率密度为，求：
（1）边缘密度函数和；
（2）判断与是否相互独立，并说明理由；
（3）．
解：（1）

（2） 与不独立
（3）
四、
设二维连续型随机向量的概率密度为，求：
（1）边缘密度函数和；
（2）判断与是否相互独立，并说明理由；
（3）．
解：（1）

（2） 与独立
（3）

一、单项选择题
1. 对任何二事件A和B，有（ C ）.
A. B.
C. D.
2. 设A、B是两个随机事件，若当B发生时A必发生，则一定有（ B ）.
A. B.
C. D.
3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为，则目标被击中的概率为（ C ）（甲乙至少有一个击中）
A. B. C. D.
4. 设随机变量X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
1/6
a
1/4
b
则a，b可以是（ D ）（归一性）.
A. B. C. D.
5. 设函数 是某连续型随机变量X的概率密度，则区间可以是（ B ）（归一性）.
A. B. C. D.
6. 设二维随机变量的分布律为
Y X
0 1 2
0
1
2
0.1 0.2 0
0.3 0.1 0.1
0.1 0 0.1

则( D ).
A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7

7. 设随机变量X服从二项分布，则有（ D ）（期望和方差的性质）.
A. B.
C. D.
8．已知随机变量，且,则的值为（ A ）
A. B. C. D.
9．设随机变量，则下式中不成立的是（ B ）
A. B. C. D.
10. 设X为随机变量，，则的值为（ A ）（方差的计算公式）.
A．5 B. C. 1 D. 3
11. 设随机变量X的密度函数为，且EX=0，则（ A ）（归一性和数学期望的定义）.
A. B. C. D.
12. 设随机变量X服从参数为0.2的指数分布，则下列各项中正确的是（ A ）
A. B.
C. D.
13. 设为二维连续型随机变量，则X与Y不相关的充分必要条件是（ D ）.
A. X与Y相互独立 B.
C. D.

二、填空题
1. 已知P（A）=0.6，P（A-B）=0.3，且A与B独立，则P（B）= 0.5 .
2. 设是两个事件，，当A, B互不相容时，P(B)=
___0.3__；当A, B相互独立时，P(B)= .
3. 设在试验中事件A发生的概率为p，现进行n次重复独立试验，那么事件A至少发生一次的概率为.
4. 一批产品共有8个正品和2个次品，不放回地抽取2次，则第2次才抽得次品的概率P= .
5. 随机变量X的分布函数F(x)是事件 P(X 的概率.
6. 若随机变量X ~ ，则X的密度函数为 .
7.设随机变量X服从参数的指数分布,则X的密度函数
； 分布函数F(x)= .
8. 已知随机变量X只能取-1，0，1，三个值，其相应的概率依次为，则c= 2 （归一性） .
9. 设随机变量X的概率密度函数为，则＝ 3 （归一性） .
10. 设随机变量X～，且，则= 0.2 .

11. 设随机变量X～N（1，4），φ（0.5）=0.6915，φ（1.5）=0.9332，则P{|X|﹥2}= 0.3753 .

12. 设随机变量X ~ ，Y ~ ，且X与Y相互独立，则X+Y ~ 分布.
13. 设随机变量X的数学期望和方差都存在，令，则；.
14. 若X服从区间[0，2]上的均匀分布，则＝4/3 .
15. 若X～，则= 9 .
17. 设随机变量X的概率密度，,.
18. 设随机变量X与Y相互独立，，则=21 .
三、计算题
1. 设随机变量X与Y独立，～，～，且,求随机变量函数的数学期望与方差.
四、证明题
1. 设随机变量X服从标准正态分布，即X～，，证明：Y的密度函数为
.
五、综合题
1.设二维随机变量（X，Y）的联合密度为 ，
求：（1）关于X，Y的边缘密度函数；（2）判断X，Y是否独立；（3）求.