控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果.doc

一、凹口网络传递函数：

上式中参数：
：凹口网络中心频率，；
：二阶微分环节阻尼系数；
：二阶振荡环节阻尼系数；
采用双线性变换公式对上式离散化：

代入H(S)表达式得到：

迭代公式： ；
；
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二、PI调节器

采用双线性变换公式对上式离散化：

代入H(S)表达式得到：

迭代公式：

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三、滞后－超前 调节器

采用双线性变换公式对上式离散化：

代入H(S)表达式得到：

迭代公式：

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四、PID 调节器（形式1）

参数：：一阶微分环节时间常数（第二转折频率）；
：一阶微分环节时间常数；
：一阶惯性环节时间常数；
K：PID调节器放大系数。
采用双线性变换公式对上式离散化：

代入H(S)表达式得到：

迭代公式： ；
；
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五、PID 调节器（形式2）

采用双线性变换公式对上式离散化：

代入H(S)表达式得到：

迭代公式： ；
；
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六、I型系统盼望特性
假设一系统的原始开环传递函数为：

它的波特图如下图：

现对其增长串联迟后校正（近似PI控制器）环节：

它的波特图如下：

校正后的系统开环传递函数为：

1．I型系统盼望特性
I型系统特点：系统的正向通道（即主通道）包含1个纯积分环节它的典型开环传递函数的形式为：

式中
——速度常数，即系统开环增益（）；
——两个惯性环节的时间常数（s）；
——一阶微分环节的时间常数（s）。
I型系统的盼望特性如下图：

根据直线斜率定义，由上图在范围内得到如下方程：

同理，在得到如下方程：

同理，在得到如下方程：

同理，在得到如下方程：

联立上述四个方程得到如下关系式：

根据Barton公式：

2．I型系统对各种输入信号的稳态误差
假设I型系统的动态结构图如下图：

系统闭环传递函数为：

系统误差传递函数为：

(1) 输入单位阶跃信号

=0
(2) 输入等速信号

(3) 输入等加速信号

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七、II型系统盼望特性
1．II型系统盼望特性
II型系统的结构特点：系统的正向通道包含2个积分环节。典型开环传递函数的形式为：

式中
——加速度常数，即系统开环增益（）；
——惯性环节的时间常数（s）；
——一阶微分环节的时间常数（s）。
II型系统的盼望特性如下图：

根据直线斜率定义，由上图在范围内得到如下方程：

同理，在得到如下方程：

同理，在得到如下方程：

联立上述三个方程得到如下关系式：

2．II型系统对各种输入信号的稳态误差
假设II型系统的动态结构图如下图：
系统闭环传递函数为：

系统误差传递函数为：

(4) 输入单位阶跃信号

=0
(5) 输入等速信号

(6) 输入等加速信号

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八、盼望特性参数的选择和拟定
盼望特性设计，就是选择各频段的斜率；常数的拟定及截至频率和转折频率的选择。
盼望特性反映了系统的各项性能指标。低频段的斜率与系统的无静差阶次一致。对于I型系统，它反映了速度常数，决定了系统的静态误差和速度误差；对于II型系统，它反映了加速度常数，决定了系统的加速度误差。中频段与性能指标的关系有：
1) 截至频率的大小反映了伺服带宽的宽窄；
2) 相角裕量由中频段的长度和对称度拟定；
3) 当一定期，转折频率的大小反映了常数的大小。
高频段反映了系统限制高频干扰及防止机械结构谐振的能力。然而，实际系统最后拟定的高频段转折频率，以及斜率应由闭环速度回路和反谐振回路的传递函数拟定。这样，盼望特性就将系统的位置回路和速度回路联系起来。
当系统的无静差阶次拟定后，低频段的斜率是固定的，可变部分在中频段和高频段。这样，就形成了两类不同型式的盼望特性。
1、 的选择
的选择受伺服带宽的限制。一般取：

2、 的选择

保证必须对加速度常数提出规定。一般取：

a． 当；，有；这是保守的取法。
b． 当；，有；这是一般能达成的水平。
c． 当；，有；这是通过努力也许达成的高水平。
3、 的选择
的选择在I型系统进行。一般小则大，反之亦然。但不是愈小则愈大。建议的最小值取在相应在500~1000处。
4、 的选择
A、 根据选择：3。这种选择能保证至少为45°。
B、 根据如下关系式：

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九、正割函数校正
正割函数校正用于单脉冲雷达跟踪下的方位伺服系统（俯仰机构叠加于方位机构式的天线座）。跟踪目的时的几何关系如下图：

由上图看出，在存在俯仰角ε时，目的由B点移动到C点，雷达天线轴线从AB线转动到AC线。这时，ABC平面转过的角度为。要使天线转过，伺服方位支路必须带动天线在AOD平面内转过角度。由于方位角和横扫角是在两个不同的平面内，因而存在坐标转换问题。可以证明，坐标转换的结果使得方位支路伺服系统的开环增益，随着俯仰角ε的余弦而变化。为保证在不同俯仰角ε跟踪时，方位伺服系统的开环增益保持不变，保证不断精确地跟踪目的就必须进行补偿。为此，要在方位伺服系统的位置回路的前向通路上，串接一个正割律的校正电位器。而正割律校正就称为正割函数校正。
由上图几何关系得到：

在天线正常跟踪目的的情况下，很小，也很小，则有，，于是得到：

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十、前馈校正
(一) II型系统前馈校正
1．前馈环节的表达式推导
系统闭环传递函数为：

系统误差传递函数为：

假设：

由于二型系统对单位阶跃信号和等速信号的稳态误差为零，故这里仅讨论输入信号为等加速信号时的情况。等加速信号即：

那么系统的稳态误差为：

假如使，即系统对等加速信号跟踪误差为0，则需要的条件是：

所以前馈环节传递函数形式为：

2．前馈环节的表达式中的微分环节离散化形式讨论

(1) 向后差商变换

那么离散化后的迭代方程为：

(2) 向后三点位置二阶逼近
这是基于拉格朗日n次插值多项式得到的数值微分公式。拉格朗日n次插值多项式公式如下：

假设三个等距节点 ， ，则有如下关系：

那么通过这三点得拉格朗日2次插值多项式是：

那么的导数为：

那么在的导数为：

迭代：

这就是以后向等距三点位置表达的导数近似公式，运用该公式代替前馈环节中的微分，其中T为采样周期。
同理， 可以得到以前向三点位置表达的导数近似公式：

(3) 双线性变换

那么离散化后的迭代方程为：