《应用数理统计》吴翊李永乐第三章-假设检验课后作业参考答案.doc

第三章 假设检验
课后作业参考答案
3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？()
解：(1)提出假设
(2)构造统计量
(3)否定域
(4)给定显著性水平时，临界值
(5) ，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。

3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
解：

3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布，其中。现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为，与以往正常生产时的相比，较大20()。设总体方差不变，问在下能否认为这批钢索质量显著提高？
解：
(1)提出假设
(2)构造统计量
(3)否定域
(4)给定显著性水平时，临界值
(5) ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。
3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）：
3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值服从正态分布，问在下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？
解：

3.5确定某种溶液中的水分，它的10个测定值 试在水平5%检验假设：

3.6 使用A(电学法)与B(混合法)两种方法来研究冰的潜热，样品都是的冰块，下列数据是每克冰从变成水的过程中吸收的热量(卡/克)；

方法A：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04
79.97，80.05，80.03，80.02，80.00，80.02
方法B：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97
假设每种方法测得的数据都服从正态分布，且他们的方差相等。检验两种方法的总体均值相等。()
解：

(1)提出假设
(2)构造统计量
(3)否定域

(4)给定显著性水平时，临界值

(5) ，样本点在否定域内，故拒绝原假设，认为两种方法的总体均值不相等。

3.7 今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件侧其口径，数据记为及，计算得

假设零件的口径服从正态分布，给定显著性水平，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方法无显著性差异？
解：

(1)提出假设
(2)构造统计量
(3)否定域

(4)给定显著性水平时临界值

(5) ，样本点在否定域之外，故接受原假设，认为两台机床加工零件口径的方差无显著性影响。

3.8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中的含量，得如下结果
重量法：n=5次测量，
比色法：n=5次测量，
假设两种分析法结果都服从正态分布，问
（i）两种分析方法的精度是否相同？
（ii）两种分析方法的是否相同？
解：（i）

(ii)

3.9设总体

解：

3.10 一骰子投掷了120次，得到下列结果：
点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
23
26
21
20
15
15
问这个骰子是否均匀？
解：

3.11 某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表：
呼吸次数
0
1
2
3
4
5
6
>=7
频数
8
16
17
10
6
2
1
0
试问这个分布能看作为泊松分布吗？
解：

3.12 检查产品质量时，每次抽取10个来检查，共抽取100次，记录每10个产品中的次品数如下表：
次品数
0
1
2
3
4
5
6
…
10
频数
35
40
18
5
1
1
0
…
0
试问生产过程中出现次品的概率能否看作是不变的，即次品数X是否服从二项分布？()
解：
提出假设：
参数的极大似然估计为：

，故在置性水平下接受，认为次品数服从二项分布。

3.13从一批滚珠中随机抽取了50个，测得他们的直径为（单位：mm）:
15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3
15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9
15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2
15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1
15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2
是否可认为这批滚珠直径服从正态分布？
解：

表3-13
i

1
(0,14.6)
6
0.1321
6.6061
0.0556
2
[14.6,14.8)
5
0.1260
6.2976
0.2674
3
[14.8,15.1)
13
0.2624
13.1209
0.0011
4
[15.1,15.4)
14
0.2535
12.6752
0.1385
5
[15.4,)
12
0.2260
11.3003
0.0433

0.5059

3.14 调查339名50岁以上吸烟习惯于患慢性支气管炎病的关系，得下表：

吸烟
不吸烟

患慢性支气管炎
43
13
56
未患慢性支气管炎
162
121
283

205
134
339
患病率
21
9.7
16.5
试问吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率是否有所不同？()
解：吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率相同
吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率不同
对每个对象考察两个指标，X——是否吸烟，Y——是否患病
X的取值：吸烟，不吸烟；Y的取值：患病，不患病
要研究吸烟与患慢性支气管炎病是否有关，这是一个r=s=2的二元列联表

对于，查表，所以拒绝，认为吸烟者的慢性支气管炎病患病率较高。

3.15下列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。
年龄
疗效
儿童 成年 老年

显著
一般
较差
58 38 32
28 44 45
23 18 14
128
117
55

109
100
91
300
试问疗效与年龄是否有关？
解：

3.16自动机床加工轴，从成品中抽取11根，并测得它们直径（单位：mm）如下：10.52 10.41 10.32 10.18 10.64 10.77
10.82 10.67 10.59 10.38 10.49
试检验这批零件的直径是否服从正态分布？
解： 为了便于计算，列表如下：这里n=11。表3-16
k

1
10.18
10.82
0.64
0.5601
2
10.32
10.77
0.45
0.3315
3
10.38
10.67
0.29
0.2260
4
10.41
10.64
0.23
0.1429
5
10.49
10.59
0.1
0.0695
6
10.52
10.52
0

3.17 用D检验法检验例3.20。
解：维尼纶纤度服从正态分布维尼纶纤度不服从正态分布
为了便于计算，统计量D的分子可以换成与其相等的形式：

定义统计量：

对于给定的显著性水平，查表得
,由于,故接受，认为维尼纶纤度服从正态分布
3
.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下：
甲（小时）：1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800
乙（小时）：1580 1600 1640 1640 1700
试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异？
解：将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示，其中第一组的数据下边标有横线。

表3-18
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
数据
1580
1600
1610
1640
1640
1650
1680
1700
1700
1720
1750
1800
这里1700两组都有，排在第8，第9位置上，它的秩取平均数（8+9)/2=8.5 这里

,
3.21对20台电子设备进行3000小时寿命试验，共发生12次故障，故障时间为
340 430 560 920 1380 1520
1660 1770 2100 2320 2350 1650
试问在显著水平下，故障事件是否服从指数分布？
解：

340
1
0.2134
0
0.0833
0.2134
0.1300
0.2134
430

1
0.2618
0.0833
0.1667
0.1785
0.0951
0.1785
560
1
0.3265
0.1667
0.2500
0.1599
0.0765
0.1599
920
1
0.4776
0.2500
0.3333
0.2276
0.1443
0.2276
1380
1
0.6225
0.3333
0.4167
0.2891
0.2058
0.2891
1520
1
0.6580
0.4167
0.5000
0.2413
0.1580
0.2413
1660
1
0.6902
0.5000
0.5833
0.1902
0.1068
0.1902
1770
1
0.7133
0.5833
0.6667
0.1300
0.0467
0.1300
2100
1
0.7729
0.6667
0.7500
0.1062
0.0229
0.1062
2320
1
0.8056
0.7500
0.8333
0.0556
0.0278
0.0556
2350
1
0.8096
0.8333
0.9167
0.0237
0.1070
0.1070
2650
1
0.8470
0.9167
1.0000
0.2287
0.3120
0.3120

2.2108

3.19 由10台电机组成的机组进行工作，在2000小时中有5台发生故障，其故障发生的时间为：
1350 965 427 1753 665
试问这些电机在2000小时前发生的故障时间T是否服从平均寿命为1500小时的指数分布？()
解：故障时间服从指数分布故障时间不服从指数分布
求未知参数的极大似然估计值为

计算点的分布函数值，再计算，计算过程见下表：

427
1
0.339
0
0.2
0.339
0.139
0.339
665
1
0.475
0.2
0.4
0.275
0.075
0.275
965
1
0.607
0.4
0.6
0.207
0.007
0.207
1350
1
0.730
0.6
0.8
0.130
0.070
0.130
1750
1
0.817
0.8
1.0
0.017
0.183
0.183
合计
1.134
由表知，在给定的置性水平下，
查表得，故接受，认为服从平均寿命为1500小时的指数分布
3.20 考察某台仪器的无故障工作时间12次，的数据如下：
28 42 54 92 138 159 169 181 210 234 236 265
试问无故障工作时间是否服从指数分布？()
解：

无故障工作时间服从指数分布
无故障工作时间不服从指数分布
求未知参数的极大似然估计值为：

计算点的分布函数值，再计算，计算过程见下表：

28
1
0.170
0
0.083
0.170
0.087
0.170
42
1
0.243
0.083
0.167
0.160
0.076
0.160
54
1
0.301
0.167
0.25
0.134
0.051
0.134

92
1
0.457
0.25
0.333
0.207
0.124
0.207
138
1
0.600
0.333
0.417
02.67
0.183
0.267
159
1
0.652
0.417
0.5
0.235
0.152
0.235
169
1
0.674
0.5
0.583
0.174
0.091
0.174
181
1
0.699
0.583
0.667
0.116
0.032
0.116
210
1
0.752
0.667
0.75
0.085
0.002
0.085
234
1
0.788
0.75
0.833
0.038
0.045
0.045
236
1
0.791
0.833
0.917
0.042
0.126
0.126
265
1
0.828
0.917
1.000
0.089
0.172
0.172
合计
1.891
由表知，在给定的置性水平下，查表得，故拒绝，认为无故障工作时间不服从指数分布
3.21 对20台电子设备进行3000小时的寿命试验，共发生2次故障，故障时间为：
340 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 2650
试问在显著性水平下，故障时间是否服从指数分布？

解：
故障时间服从指数分布
故障时间不服从指数分布
求未知参数的极大似然估计值：

计算点的分布函数值，再计算，计算过程见下表：

340
1
0.2028
0
0.0833
0.2028
0.1195
0.2028
430
1
0.2492
0.0833
0.1667
0.1659
0.0825
0.1659
560
1
0.3115
0.1667
0.25
0.1448
0.0615
0.1448
920
1
0.4584
0.25
0.3333
0.2084
0.1251
0.2084
1380
1
0.6015
0.3333
0.4167
0.2817
0.1848
0.2817
1520
1
0.6395
0.4167
0.5
0.2202
0.1369
0.2202
1660
1
0.6695
0.5
0.5833
0.1695
0.0862
0.1695
1770
1
0.6927
0.5833
0.6667
0.1094
0.026
0.1094
2100
1
0.7534
0.6667
0.75
0.0867
0.0034
0.0867
2320
1
0.7871
0.75
0.8333
0.0371
0.0462
0.4062
2350
1
0.7912
0.8333
0.9167
0.0421
0.1255
0.1255
2650
1
0.8291
0.9167
1.0000
0.087 5
0.1708
0.1708
合计
1.9319
，故在下，拒绝，认为故障时间不服从指数分布。

3.22 甲乙两位工人在同一台机床上加工相同规格的主轴，从两人加工的主轴中分别随机的抽取7个，然后测量它们的外径(单位：mm)，的数据如下：

甲

20.5
19.8
19.7
20.4
20.1
20.0
19.0
乙
19.7
20.8
20.5
19.8
19.4
20.6
19.2
试用柯尔莫哥洛夫检验法和秩和检验法分别检验这两位工人加工的主轴外径是否服从相同的分布？()
解：
(1)柯尔莫哥洛夫检验法
两位工人加工的主轴外径服从相同的分布
两位工人加工的主轴外径不服从相同的分布
求未知参数的极大似然估计值：

计算过程见下表：

19.0
1
-1.749
0.04
0
0.071
0.040
0.031
0.04
19.2
1
-1.384
0.084
0.071
0.143
0.013
0.059
0.059
19.4
1
-1.020
0.154
0.143
0.214
0.011
0.06
0.06
19.7
2
-0.474
0.319
0.214
0.357
0.105
0.038
0.105
19.8
2
-0.291
0.386
0.357
0.5
0.029
0.114
0.114
20.0
1
0.073
0.5279
0.5
0.571
0.0279
0.0431
0.0431
20.1
1
0.255

0.6026
0.571
0.643
0.0316
0.0404
0.0404
20.4
1
0.801
0.7881
0.643
0.714
0.1451
0.0741
0.1451
20.5
2
0.9836
0.8365
0.714
0.857
0.1225
0.0205
0.1225
20.6
1
1.1658
0.8790
0.857
0.929
0.022
0.05
0.05
20.8
1
1.530
0.93699
0.929
1.00
0.00799
0.06301
0.063
，故在下，接受两位工人加工的主轴外径服从相同的分布。
(2)秩和检验法
将两组数据按从小到大的顺序排列，划横线为甲的数据
序号
1
2
3
4
5
6
7
数据
19.0
19.2
19.4
19.7
19.7
19.8
19.8

序号
8
9
10
11
12
13
14
数据
20.0
20.1
20.4
20.5
20.5
20.6
20.8

当时，

对于给定的置信水平，故接受原假设，认为两位工人加工的主轴外径服从相同的分布。

3.23 在D统计量中，证明：

证明：
(1)当n=2m时

令2m+1-k=p，则k=2m+1-p，有

(2)当n=2m+1时，

令2m+2-k=p，则k=2m+2-p，有

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