复数的基本知识.doc

补充复数的基本知识：
1、虚数单位
由于在实数集R内负数不能开平方，所以在实数集内方程无解。引入虚数，虚数单位符号为，并规定
（1） 它的平方等于-1，即；
（2）可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。
性质：；；；
一般地，对于任意整数n，有：
；；；
2、复数集
定义：形如的数称为复数。
通常用大写拉丁字母表示一个复数，即
其中 称为复数的实部，；
称为复数的虚部，；
举例：，，的实部、虚部？

3、复数的相等及共轭复数
定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即

定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数。
复数的共轭复数记作
例：的共轭复数
注：
4、复数的几何表示（复平面）
任何一个复数都可以由一对有序实数唯一确定；反之，任何一对有序实数都能唯一确定一个复数；因此，复数与平面直角坐标系中的点是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为，纵坐标为的点表示复数。

用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。
复数与复平面上的点是一一对应关系。即
复数点
矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：

相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。
(1) 矢量的大小称为矢量的模；
矢量的模称为复数的模，记作：或即:

(2) 矢量的方向
以实轴的正半轴为始便，矢量所在的射线为终边的角，称为复数的辐角。
非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差的整数倍。通常适合于的辐角称为主辐角，值称为辐角的主值。
规定：要用主辐角表示复数的辐角。
模和主辐角可以唯一确定一个非零复数。

5、复数的指数形式
欧拉公式：
例如：
对于任何一个复数：
称为复数的指数形式
例：

7、复数的四则运算
（1）复数代数形式（）的加减法

复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
（2）复数代数形式的乘法

按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中换成-1，并且把实部、虚部分别合并。
例：
（3）复数代数形式的除法
分子与分母同乘以分母的共轭复数，分母实数化后，所得结果要化简。

例：
（4）复数指数形式（）的乘除运算
令；
则

例：

（5）复数极坐标形式（）的乘除运算
设复数，

8、方程根的求解
一元二次方程根的求解。一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，也可以是复数根（共轭复根）。
例： ，；
；
补充题：
1、计算下列各式，并作几何表示
（1）
（2）
在复平面上描述
在复平面上描述
2、计算下列各式，并化成代数形式
（1） （2）

3、求出下列方程的解
（1）
（2）