复数的基本知识.doc

补充复数的基本知识：1、虚数单位由于在实数集R内负数不能开平方，所以在实数集内方程无解。引入虚数，虚数单位符号为，并规定（1） 它的平方等于-1，即；（2）可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。性质：；一般地，对于任意整数n，有： ；2、复数集定义：形如的数称为复数。通常用大写拉丁字母表示一个复数，即其中 称为复数的实部，； 称为复数的虚部，；举例：，的实部、虚部？ 3、复数的相等及共轭复数定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即 定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数。复数的共轭复数记作例：的共轭复数注：4、复数的几何表示（复平面）任何一个复数都可以由一对有序实数唯一确定；反之，任何一对有序实数都能唯一确定一个复数；因此，复数与平面直角坐标系中的点是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为，纵坐标为的点表示复数。 用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。复数与复平面上的点是一一对应关系。即复数点矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。(1) 矢量的大小称为矢量的模；矢量的模称为复数的模，记作：或即:(2) 矢量的方向以实轴的正半轴为始便，矢量所在的射线为终边的角，称为复数的辐角。非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差的整数倍。通常适合于的辐角称为主辐角，值称为辐角的主值。规定：要用主辐角表示复数的辐角。模和主辐角可以唯一确定一个非零复数。 5、复数的指数形式 欧拉公式： 例如：对于任何一个复数： 称为复数的指数形式例： 7、复数的四则运算（1）复数代数形式（）的加减法复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。（2）复数代数形式的乘法按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中换成-1，并且把实部、虚部分别合并。例： （3）复数代数形式的除法分子与分母同乘以分母的共轭复数，分母实数化后，所得结果要化简。例：（4）复数指数形式（）的乘除运算令；则 例：（5）复数极坐标形式（）的乘除运算 设复数，8、方程根的求解 一元二次方程根的求解。一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，也可以是复数根（共轭复根）。例： ，； ；补充题：1、计算下列各式，并作几何表示（1）（2） 在复平面上描述 在复平面上描述2、计算下列各式，并化成代数形式（1） （2）3、求出下列方程的解（1） （2）