多位数乘法口算巧算.doc

乘法口算巧算技法
两位数乘法
1.十几乘十几：
口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=？
解:1×1=1
2+4=6
2×4=8
12×14=168
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

2.头相同，尾互补(尾相加等于10)：
口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=？
解：2+1=3
2×3=6
3×7=21
23×27=621
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

3.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：
口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=？
解：3+1=4
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

4.几十一乘几十一：
口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=？
解：2×4=8
2+4=6
1×1=1
21×41=861

5.11乘任意数：
口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=？
解：2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾 11×23125=254375 注：和满十要进一。
6.十几乘任意数：
口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：13×467=？
解：13个位是3
3×4+6=18
3×6+7=25
3×7=21
13×467=6071
注：和满十要进一。

7.多位数乘以多位数
口诀：前一个因数逐一乘后一个因数的每一位，第二位乘10倍，第三位乘100倍……以此类推
例：33*132=？
33*1=33
33*3=99
33*2=66
99*10=990
33*100=3300
66+990+3300=4356
33*132=4356
注：和满十要进一。
数学中关于两位数乘法的“首同末和十”和“末同首和十”速算法。所谓“首同末和十”，就是指两个数字相乘，十位数相同，个位数相加之和为10，举个例子，67×63，十位数都是6，个位7+3之和刚好等于10，我告诉他，象这样的数字相乘，其实是有规律的。就是两数的个位数之积为得数的后两位数，不足10的，十位数上补0；两数相同的十位取其中一个加1后相乘，结果就是得数的千位和百位。具体到上面的例子67×63，7×3=21，这21就是得数的后两位；6×（6+1）=6×7=42，这42就是得数的前两位，综合起来，67×63=4221。类似，15×15=225，89×81=7209，64×66=4224，92×98=9016。我给他讲了这个速算小“秘诀”后，小家伙已经有些兴奋了。在“纠缠”着让我给他出完所有能出的题目并全部计算正确后，他又嚷嚷让我教他“末同首和十”的速算方法。我告诉他，所谓“末同首和十”，就是相乘的两个数字，个位数完全相同，十位数相加之和刚好为10，举例来说，45×65，两数个位都是5，十位数4+6的结果刚好等于10。它的计算法则是，两数相同的各位数之积为得数的后两位数，不足10的，在十位上补0；两数十位数相乘后加上相同的个位数，结果就是得数的百位和千位数。具体到上面的例子，45×65，5×5=25，这25就是得数的后两位数，4×6+5=29，这29就是得数的前面部分，因此，45×65=2925。类似，11×91=1001，83×23=1909，74×34=2516，97×17=1649。
为了易于大家理解两位数乘法的普遍规律，这里将通过具体的例子说明。通过对比大量的两位数相乘结果，我把两位数相乘的结果分成三个部分，个位，十位，十位以上即百位和千位。（两位数相乘最大不会超过10000，所以，最大只能到千位）现举例：42×56=2352
其中，得数的个位数确定方法是，取两数个位乘积的尾数为得数的个位数。具体到上面例子，2×6=12，其中，2为得数的尾数，1为个位进位数；
得数的十位数确定方法是，取两数的个位与十位分别交叉相乘的和加上个位进位数总和的尾数，为得数的十位数。具体到上面例子，2×5+4×6+1=35，其中，5为得数的十位数，3为十位进位数；
得数的其余部分确定方法是，取两数的十位数的乘积与十位进位数的和，就是得数的百位或千位数。具体到上面例子，4×5+3=23。则2和3分别是得数的千位数和百位数。
因此，42×56=2352。再举一例，82×97，按照上面的计算方法，首先确定得数的个位数，2×7=14，则得数的个位应为4；再确定得数的十位数，2×9+8×7+1=75，则得数的十位数为5；最后计算出得数的其余部分，8×9+7=79，所以，82×97=7954。同样，用这种算法，很容易得出所有两位数乘法的积。
速算四：有条件的特殊数的速算
两位数乘法速算技巧
原理：设两位数分别为10A+B，10C+D,其积为S,根据多项式展开：
S= (10A+B) ×(10C+D)=10A×10C+ B×10C+10A×D+ B×D，而所谓速算，就是根据其中一些相等或互补（相加为十）的关系简化上式，从而快速得出结果。
注：下文中 “--”代表十位和个位，因为两位数的十位相乘得数的后面是两个零，请大家不要忘了，前积就是前两位,后积是后两位,中积为中间两位， 满十前一,不足补零.
A.乘法速算
一．前数相同的：
1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=(10+B+D)×10+B×D
方法：百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：13×17
13 + 7 = 2- - （ “-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
3 × 7 = 21
-----------------------
221
即13×17= 221
1.2.十位是1,个位不互补,即A=C=1, B+D≠10,S=(10+B+D)×10+A×B
方法：第一个乘数的个位与第二个乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：15×17
15 + 7 = 22- （ “-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
5 × 7 = 35
-----------------------
255
即15×17 = 255
1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×(A+1)×10+B×D
方法:十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积
例：56 × 54
(5 + 1) × 5 = 30- -
6 × 4 = 24
----------------------
3024
1.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×(A+1)×10+A×B
方法:先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然
例：67 × 64
（6+1）×6=42
7×4=28
7+4=11
11-10=1
4228+60=4288
----------------------
4288
方法2：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
例：67 × 64
6 ×6 = 36- -
（4 + 7）×6 = 66 -
4 × 7 = 28
----------------------
4288
二、后数相同的：
2.1. 个位是1，十位互补 即 B=D=1, A+C=10 S=10A×10C+101
方法：十位与十位相乘，得数为前积，加上101.。
- -8 × 2 = 16- -
101
-----
1701
2.2. <不是很简便>个位是1，十位不互补 即 B=D=1, A+C≠10 S=10A×10C+10C+10A +1
方法：十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.。
例：71 ×91
70 × 90 = 63 - -
70 + 90 = 16 -
1
----------------------
6461
2.3个位是5，十位互补 即 B=D=5, A+C=10 S=10A×10C+25
方法：十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25。
例：35 × 75
3 × 7+ 5 = 26- -
25
-----
2625
2.4<不是很简便>个位是5，十位不互补 即 B=D=5, A+C≠10 S=10A×10C+525
方法：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
例: 75 ×95
7 × 9 = 63 - -
（7+ 9）× 5= 80 -
25
----------------------------
7125
2.5. 个位相同，十位互补 即 B=D, A+C=10 S=10A×10C+B100+B2
方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方
例：86 × 26
8 × 2+6 = 22- -
36
-----------------------
2236
2.6.个位相同，十位非互补
方法：十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然
例：73×43
7×4+3=31
9
7+4=11
3109 +30=3139
-----------------------
3139
2.7.个位相同，十位非互补速算法2
方法：头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10
例：73×43
7×4=28
9
2809+（7+4）×3×10=2809+11×30=2809+330=3139
-----------------------
3139
三、特殊类型的：
3.1、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘。
方法：互补的那个数首位加1。
例： 66 × 37
（3 + 1）× 6 = 24- -
6 × 7 = 42
----------------------
2442
3.2、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。
方法：杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然
例：38×44
（3+1）*4=16
8*4=32
1632
3+8=11
11-10=1
1632+40=1672
----------------------
1672
3.3、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘。
方法：乘数首位加1，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然
例：46×75
（4+1）*7=35
6*5=30
5-7=-2
2*4=8
3530-80=3450
----------------------
3450
3.4、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。
方法：凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。
例：56×36
10-6=4
3+1=4
5*4=20
4*4=16
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2016
3.5、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。
方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然
例：74×56
（7+1）*5=40
4*6=24
7-5=2
2*6=12
12*10=120
4024+120=4144
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4144
3.6、两因数首尾差一，尾数互补的算法
方法：不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积
例：24×36
3>2
3*3-1=8
6^2=36
100-36=64
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864
3.7、近100的两位数算法
方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满10补零，满百进一）
例：93×91
100-91=9
93-9=84
100-93=7
7*963
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8463
B、平方速算
一、求11～19 的平方
同上1.2，乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一
例：17 × 17
17 + 7 = 24-
7 × 7 = 49
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289
三、个位是5 的两位数的平方
同上1.3，十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。
例：35 × 35
（3 + 1）× 3 = 12--
25
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1225
四、十位是5 的两位数的平方
同上2.5，个位加25，在得数的后面接上个位平方。
例： 53 ×53
25 + 3 = 28--
3× 3 = 9
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2809
四、21～50 的两位数的平方
求25～50之间的两数的平方时，记住1~25的平方就简单了, 11～19参照第一条,下面四个数据要牢记：
21 × 21 = 441
22 × 22 = 484
23 × 23 = 529
24 × 24 = 576
求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。
例：37 × 37
37 - 25 = 12--
（50 - 37）^2 = 169
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1369
C、加减法
一、补数的概念与应用
补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。
例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。
补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。
D、除法速算
一、某数除以5、25、125时
1、被除数÷ 5
=被除数÷ (10 ÷ 2)
=被除数÷ 10 × 2
=被除数× 2 ÷ 10
2、被除数÷ 25
=被除数× 4 ÷100
=被除数× 2 × 2 ÷100
3、被除数÷ 125
=被除数× 8 ÷1000
=被除数× 2 × 2 × 2 ÷1000
在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。因本人水平所限，上面的算法不一定是最好的心算法
速 算 法 演 练 实 例
Example of Rapid Calculation in Practice
○史丰收速算法易学易用，算法是从高位数算起，记着史教授总结了的26句口诀（这些口诀不需死背，而是合乎科学规律，相互连系），用来表示一位数乘多位数的进位规律，掌握了这些口诀和一些具体法则，就能快速进行加、减、乘、除、乘方、开方、分数、函数、对数…等运算。
□本文针对乘法举例说明
○速算法和传统乘法一样，均需逐位地处理乘数的每位数字，我们把被乘数中正在处理的那个数位称为「本位」，而从本位右侧第一位到最末位所表示的数称「后位数」。本位被乘以后，只取乘积的个位数，此即「本个」，而本位的后位数与乘数相乘后要进位的数就是「后进」。
○乘积的每位数是由「本个加后进」和的个位数即--
□本位积=（本个十后进）之和的个位数
○那么我们演算时要由左而右地逐位求本个与后进，然后相加再取其个位数。就以右例具体说明演算时的思维活动。
（例题）被乘数首位前补0，列出算式：
7536×2=15072
乘数为2的进位规律是「2满5进1」
7×2本个4，后位5，满5进1，4+1得5
5×2本个0，后位3不进，得0
3×2本个6，后位6，满5进1，6+1得7
6×2本个2，无后位，得2
在此我们只举最简单的例子供读者参考，至于乘3、4……至乘9也均有一定的进位规律，限于篇幅，在此未能一一罗列。
「史丰收速算法」即以这些进位规律为基础，逐步发展而成，只要运用熟练，举凡加减乘除四则多位数运算，均可达到快速准确的目的。