221-直线与平面平行的判定.doc

第2章 2.2 2.2.1
一、选择题
1．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系(　　)
A．b∥α　　　 B．b与α相交
C．b⊂α D．b∥α或b与α相交
[答案]　D
[解析]　∵a，b相交，∴a，b确定一个平面为β，如果β∥α，则b∥α，如果β不平行α，则b与α相交．
2．下列命题中正确的是(　　)
①过一点一定存在和两条异面直线都平行的平面
②直线l、平面α与同一条直线m平行，则l∥α
③若两条直线没有公共点，则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行
A．① B．③
C．①③ D．①②③
[答案]　B
[解析]　举反例，即特例法
①当点在一条直线上时，不存在；
②l⊂α，m∥l时，②错；
③两直线a、b无公共点，有两种情况：i)a∥b　ii)a、b异面，都存在平面α经过直线b，且α∥a
故选B.
3．在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是(　　)
A．MN⊂平面BDC[来源:学.科.网]
B．MN与平面BDC相交
C．MN∥平面BDC
D．MN与平面BDC位置关系不确定
[答案]　C
[解析]　∵＝　∴MN∥BD
又MN⊄面BDC　∴MN∥面BDC.
4．给出下列结论
(1)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．
(2)过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行．
(3)a、b是异面直线，则过b存在惟一一个平面与a平行．
其中正确的有(　　)
A．1个　 　 B．2个　 　
C．3个　 　 D．4个
[答案]　A
[解析]　(1)错　(2)错
(3)正确　在b上取一点B，过这点平行于a的直线只有一条a′，b与a′确定唯一平面α，且a∥α.
5．异面直线a、b分别在α、β内，α∩β＝l，则直线l与a、b的位置关系一定是(　　)
A．l至少与a、b中一条相交
B．l至多与a、b中一条相交
C．l至少与a、b中一条平行
D．l与a、b都相交
[答案]　A
[解析]　由条件知，l与a都在平面α内，l与b都在平面β内，若l与a、b都不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b，与a、b异面矛盾，∴l至少与a、b中的一条相交．
6．给出下列结论：
(1)平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)平行于同一条直线的两个平面平行；
(3)平行于同一平面的两条直线平行；
(4)平行于同一个平面的两个平面平行．
其中正确的个数为(　　)
A．1个　 　 B．2个　 　
C．3个　 　 D．4个
[答案]　B
[解析]　由公理4知(1)正确，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1，DD1∥平面BB1C1C，但两个平面相交，故(3)错；同样在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与B1C1都与平面ABCD平行，故(3)错；(4)正确，故选B.
7．给出下列命题：
①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线与平面内的任意一条直线无公共点，则直线与平面平行；
③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．
其中正确命题的序号是(　　)
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
[答案]　A
[解析]　由定义知①正确；若直线与平面内的任一条直线无公共点，则此直线与平面无公共点，∴②正确；如图(1)，直线a∩α＝A，a与α内不过A点的任意直线都不相交，故③错；如图(2)，a∥b，b⊂α，满足a∥b，a∥α，故④错．
8．直线a′⊂平面α，直线b′⊂平面α，且a′∥b′，其中a′，b′分别是直线a和直线b在平面α上的正投影，则直线a与直线b的位置关系是(　　)
A．平行或异面
B．相交或异面[来源:学,科,网]
C．相交、平行或异面
D．以上答案都不正确
[答案]　A
[解析]　如图，a与b可能平行，也可能异面．
9．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值为(　　)
A．0 B．3
C．12 D．不存在
[答案]　B
[解析]　由题意AB＝5，设PA＝x，则0≤x≤5，PB＝5－x，
＝，＝，
∴PM·PN＝x·(5－x)＝x(5－x)，
∴当x＝时取最大值3.
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是(　　)
A．EF∥平面BB1D1D
B．EF与平面BB1D1D相交
C．EF⊂平面BB1D1D
D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断
[答案]　A
[证明]　取D1B1的中点O，连OF，OB，[来源:1]
∵OF綊B1C1，BE綊B1C1，∴OF綊BE，
∴四边形OFEB为平行四边形∴EF∥BO
∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，
∴EF∥平面BB1D1D，故选A.
二、填空题
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______．
[答案]　相交
[解析]　因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．
三、解答题
12．如图所示的几何体中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．
求证：DF∥平面ABC.[来源:1]
[证明]　如图所示，取AB的中点G，连接FG、CG，∵F、G分别是BE、AB的中点，
∴FG綊AE，
又AE＝2a，CD＝a，
∴CD＝AE，
而AE∥CD，∴CD綊FG，
∴四边形CDFG为平行四边形，
∴DF∥CG.
又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.
13．如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG.
[证明]　如图，连结DM，交GF于O点，连结OE，
在△BCD中，G、F分别是BD、CD的中点，∴GF∥BC.
∵G是BD中点，
∴O为MD中点．
在△AMD中，∵E、O为AD、MD中点，∴EO∥AM.
又∵AM⊄平面EFG，EO⊂平面EFG.∴AM∥平面EFG.
14．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
[解析]　(1)取PD的中点H，连结AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊DC.由M是AB的中点，
∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．
∴MN∥AH.
由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)连结AC并取其中点O，连结OM、ON，
∴OM綊BC，ON綊PA.[来源:学*科*网]
∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，
由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2.
∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，
即异面直线PA与MN成30°的角．
15．如图，正方形ABCD和正方形ADEF相交于AD，M、N分别是BD、AE上的点，且AN＝BM.求证：MN∥平面EDC(用两种证法证明)．
[证明]　证法1：作NP∥AD交DE于P，作MQ∥AD交DC于Q，则NP∥MQ.∵AN＝BM，∴NE＝DM，
∴＝，又＝，＝，
∴NP＝MQ，∴NP綊MQ
∴MNPQ为平行四边形，∴MN∥PQ
又PQ⊂平面EDC　MN⊄平面DEC，
∴MN∥平面EDC
证法2：连AM并延长交直线DC于H，连EH.
∵AB∥CD　∴＝
又BM＝AN，BD＝AE，∴＝，∴NM∥EH
∵MN⊄平面EDC，EH⊂平面EDC
∴MN∥平面EDC.
16 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
[解析]　取A1B1的中点F1，连结FF1，C1F1，
由于FF1∥BB1∥CC1，
所以F1∈平面FCC1，
因此平面FCC1即为平面C1CFF1，连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因此A1D∥F1C.
又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，
而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，
故EE1∥平面FCC1.
[点评]　学过下节后，可用面面平行证明如下：
因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，
又EE1⊂平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.