4月浙江省学考数学考试模拟测试四.doc

2016年4月浙江省普通高校招生选考科目数学考试模拟测试（四）
一、选择题（本大题共18 小题，每小题3分，共54分。 每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1.函数的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
2.公比为的等比数列满足，，则（ ）.
A．3 B．4 C．5 D．6
3.在空间直角坐标系中，已知，，则（ ）.
A． B． C． D．
4.不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
5.已知某简单组合体由一个正方体挖去一个四棱锥构成，则该简单组合体的三视图不可能为（ ）.

A． B．

C． D．
6.倾斜角为的直线过直线与直线的交点，则直线的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
7.已知等差数列的前5项和为15，则（ ）.
A． B． C． D．
8.已知中，三个内角所对的边分别为，若，，，则（ ）.
A． B． C． D．
9.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，另一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
10.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
11.若实数满足约束条件则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
12.已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ）.
A． B． C． D．
13.如图，在正方体中，分别为的中点，则与的位置关系为（ ）.

A．相交 B．平行 C．异面垂直 D．异面但不垂直
14.已知直线过点和，第一象限的点落在直线上，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
15.设是三条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ）.
①若，，//，则//
②若，，，则
③若，，，，，则//
④若，，//，，，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16.设、、是平面中三个向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D． 若，则
17.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，过、、作圆，若圆心的横纵坐标相等，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18.如图，矩形的长是宽的倍，将沿对角线翻折，使得平面平面,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19.已知向量，，则向量，之间夹角的余弦值为 .
20.已知全集，集合，，则 .
21.已知数列满足，且，则 .
22.已知函数恰有四个互不相等的零点，则的取值范围是____________________．
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23.（本小题满分10分）
已知函数的最大值为6，最小值为，函数.
（I）求的值；
（II）求函数的最小正周期；
（III）求函数的单调减区间.
24.（本题满分10分）
已知椭圆的离心率为，其右焦点为，第一象限的点在椭圆上，且轴.
（I）若椭圆过点，求椭圆的标准方程；
（II）已知直线与椭圆交于两点，且为直线上的点，证明：直线的斜率满足.
25.（本题满分11分）
定义在上的函数满足如下条件：
①，；
②，当时，.
（I）证明函数为奇函数；
（II）讨论函数的单调性；
（III）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

2016年4月浙江省普通高校招生选考科目考试数学模拟测试（四）解析
一、选择题（本大题共18 小题，每小题3分，共54分。 每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1.函数的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意，，故，故选C．
考点：考查函数的定义域.
【命题意图】基本初等函数的定义域.
2.公比为的等比数列满足，，则（ ）.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【解析】
试题分析：因为，故，即，故，故选C．
考点：考查等比数列的通项公式.
【命题意图】等比数列的基本公式运算.
3.在空间直角坐标系中，已知，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：依题意，，故选B．
考点：考查空间直角坐标系.
【命题意图】利用空间中两点的距离公式求解空间两点距离.
4.不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意，，解得，故不等式的解集为，故选C．
考点：考查一元二次不等式的解法.
【命题意图】二次项系数为复数的一元二次不等式的解法.
5.已知某简单组合体由一个正方体挖去一个四棱锥构成，则该简单组合体的三视图不可能为（ ）.

A． B．

C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：易知，C是该几何体的俯视图，A,B,D均错误，故选C．
考点：考查三视图.
【命题意图】三视图的识别与判定.
6.倾斜角为的直线过直线与直线的交点，则直线的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：依题意，解得，故所求直线的方程为，即所求方程为，故选A．
考点：考查直线的方程.
【命题意图】直线的方程及交点坐标
7.已知等差数列的前5项和为15，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意，，即，解得，故，故，故选C．
考点：考查等差数列的性质、对数的性质.
【命题意图】等差数列背景下的对数运算.
8.已知中，三个内角所对的边分别为，若，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，，故；因为，故，故选C．
考点：考查正弦定理.
【命题意图】三角函数与正弦定理结合考查
9.已知双曲线的一条渐近线与直线平行，另一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意，双曲线的两条渐近线相互垂直，即，解得，故渐近线方程为，即双曲线的离心率，故选D．
考点：考查双曲线的性质.
【命题意图】以双曲线性质为背景考查双曲线的方程、参数关系.
10.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，故要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，故选A．
考点：考查三角函数的图象与性质.
【命题意图】考查三角函数的平移问题.
11.若实数满足约束条件则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：作出二元一次不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示；观察可知，当直线过点时，有最大值，最大值为2，故选B．

考点：线性规划.
【命题意图】二元一次不等式的平面区域、线性规划
12.已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：依题意，在上单调递增，故，而，故选A，B为充要条件，C为必要不充分条件，D为既不充分也不必要条件.
考点：考查充要条件的判定.
【命题意图】三角函数、不等式性质背景下的充要条件的判定.
13.如图，在正方体中，分别为的中点，则与的位置关系为（ ）.

A．相交 B．平行 C．异面垂直 D．异面但不垂直
【答案】C
【解析】
试题分析：连接，设，连接，因为O，F分别是与的中点，所以，且；又E为AB中点，所以，且，从而，即四边形OEBF是平行四边形，故，，故，因为，故，故选C．

考点：考查空间两直线的位置关系.
【命题意图】正方体中的平行、垂直关系.
14.已知直线过点和，第一象限的点落在直线上，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：依题意，直线的斜率显然存在，设直线将，代入可得，故直线，故；，当且仅当，即时等号成立，综上所述，故选B．
考点：考查基本不等式.
【命题意图】解析几何背景下的基本不等式.
15.设是三条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ）.
①若，，//，则//
②若，，，则
③若，，，，，则//
④若，，//，，，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
试题分析：①中m与n可能是异面直线，故①错误；②中，若时，成立，若，则未必有，故②错误；③中∵，，，，∴，又，∴//，故③正确；④中，由于//，故未必成立，故④错误；综上所述，正确命题的个数为1个，故选B．
考点：考查空间线面的位置关系.
【命题意图】空间几何体中的平行或垂直关系.
16.设、、是平面中三个向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D． 若，则
【答案】D
【解析】
试题分析：选项A是错误的，比如当与反向相反，与为相反向量时，有，.选项B是错误的，比如当、、均不是零向量且与不垂直，与相互垂直的时候，有，.选项C是错误的，比如当不是零向量且与为相反向量时，有，.由于，故当时,恒有成立，故选D．
考点：空间向量知识
【命题意图】考查空间向量的基础知识
17.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，过、、作圆，若圆心的横纵坐标相等，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得、、坐标分别为、、.则线段的中点坐标为，直线的斜率，从而线段的垂直平分线的斜率，的解析式为，即.同理，线段的中点坐标为，直线的斜率，从而线段的垂直平分线的斜率，的解析式为，即.显然圆心为直线与的交点，由方程组，解得，则，化简得，即，从而，则离心率，故选C．
考点：考查椭圆的性质
【命题意图】椭圆离心率的计算
18.如图，矩形的长是宽的倍，将沿对角线翻折，使得平面平面,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【解析】
试题分析：如右图所示，取中点，过点作，交于点，过点作，交于点，连接，过点作于点，连接.由于，，则直线与所成的角，就是异面直线与所成的角.由条件，设，则，由中位线的性质可得.在直角三角形中，,则在直角三角形中，,又，由勾股定理可求，.由于分别为中点，将直角三角形沿边翻折到平面，可知，故，在三角形中，由余弦定理可得
.由于平面平面，,故平面，从而,在直角三角形中，可得，则在中，由余弦定理得，那么异面直线与所成角的余弦值为，故选B．
考点：考查空间中异面直线所成角的计算
【命题意图】锥体背景下异面直线的计算.
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19.已知向量，，则向量，之间夹角的余弦值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：记向量，夹角为，故.
考点：向量的数量积.
【命题意图】坐标形式背景下向量的数量积.
20.已知全集，集合，，则 .
【答案】
【解析】
试题分析：，，，故.
考点：考查集合的运算
【命题意图】列举法背景下集合的运算.
21.已知数列满足，且，则 .
【答案】
【解析】
试题分析：，故；因为，所以数列是以为公比，1为首项的等比数列，故，即.
考点：考查数列的递推公式.
【命题意图】利用递推公式求数列中的项.
22.已知函数恰有四个互不相等的零点，则的取值范围是____________________．
【答案】
【解析】
试题分析：依题意，由图可知，四个零点一负三正，可知或为两种极限状态，且当时，函数的零点依次为；当时，函数的零点依次为，故.

考点：考查函数的图象与性质.
【命题意图】通过绝对值函数考查函数的图象与性质.
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23.（本小题满分10分）
已知函数的最大值为6，最小值为，函数.
（I）求的值；
（II）求函数的最小正周期；
（III）求函数的单调减区间.
【答案】（I）；（3分）；（II）；（6分）；.（10分）
【解析】
试题分析：（I）依题意，，，故；（3分）；
（II）依题意，，故；（6分）
（III）由（II）知，，令，
故，解得，
故函数的单调减区间为.（10分）
24.（本题满分10分）
已知椭圆的离心率为，其右焦点为，第一象限的点在椭圆上，且轴.
（I）若椭圆过点，求椭圆的标准方程；
（II）已知直线与椭圆交于两点，且为直线上的点，证明：直线的斜率满足.
【答案】（I）（3分）；（II）证明略.（12分）
【解析】
试题分析：（I）依题意，解得，
故椭圆的标准方程为；（3分）
（II）因为，故，∴椭圆，
将直线的方程为代入椭圆方程并整理，得；
设，则有，可知的坐标为；
可知的坐标为，故，
，∴.（10分）
25.（本题满分11分）
定义在上的函数满足如下条件：
①，；
②，当时，.
（I）证明函数为奇函数；
（II）讨论函数的单调性；
（III）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（I）证明略；（2分）（II）函数在上为增函数；（6分）（III）；（11分）
【解析】
试题分析：（I）因为函数的定义域为，定义域关于原点对称.
因为，，即，令，解得；
令，故，
即，故函数为奇函数；（2分）
（II）因为，当时，，即，
即，
即，
即，
当时，；当时，；
综上所述，函数在上为增函数；（6分）
（III）因为，故，
即，即，
即，即，即，
令，故原式化为；
因为在上单调递减，故，故，解得；
综上所述，实数的取值范围为.（11分）