福建省宁德市五校教学联合体2014第二学期期中考联考高二试卷文科数学.doc

宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试
高二文科数学试卷
（满分：150分 时间：120分钟）
命题人： 曾亦雄 陈跃 丁合剑 叶惠金 范雪青
注意事项：1. 答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。
2. 每小题选出答案后，填入答案卷中。
3. 考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数(是虚数单位)在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
3. 抛物线的焦点到准线的距离是
A. B. C. D.
4．下列几个推理
①由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是，归纳出所有三角形的内角和是；
②由圆的面积类比出球的体积；
③三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得出凸多边形内角和是.
④教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
其中推理正确的序号是
A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④
5．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0
至少有一个实根”时，要做的假设是
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
6．执行如右图所示的程序框图，则输出s的值为
A．10 B．17 C．19 D．36
7. 已知点、，动点满足，则是动点的轨迹为双曲线的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件
8．下列有关命题说法正确的是
A．命题“若，则”的否命题为“若，则”；
B．所有常数列既是等差数列也是等比数列；
C．命题“若，则”的逆否命题为假命题；
D．命题“，”的否定是“，”.
9．已知数列是等差数列，其前n项和为且，，则数列的前10项和等于
A. B. C. D.
10．已知直线与椭圆交于A、B两点，弦AB的中点为P(1，1)，则直线的方程是
A. B. C. D.
11．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则a＋2b＋5c等于
A.4 B.5 C.7 D.11
12. 已知曲线为函数的图象，过点作曲线的切线，可能的切线条数是
A．3 B．2 C．1 D．0
第II卷 （非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
13．已知复数(是虚数单位)是纯虚数，则＝_____ ____.
14. 已知函数，则= .
15．已知双曲线G：与抛物线H：在第一象限相交于点A，且有相同的焦点F， 轴，则双曲线G的离心率是 .
16．观察以下列出的表达式：
，
，
，
，
……
推测的表达式，由此计算＝________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某中学对高二甲、乙两个同类班级，进行“加强‘语文阅读理解’训练，对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：

60分以下
61～70分
71～80分
81～90分
91～100分
甲班(人数)
3
6
11
18
12
乙班(人数)
7
13
10
10
10
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．
（Ⅰ）试分析估计两个班级的优秀率；
（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”是否有帮助.

优秀人数
非优秀人数
合计
甲班

乙班

合计

参考公式及数据：，
P(2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

18．（本小题满分12分）
已知数列是公差的等差数列，其中、是方程的两根.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和.

19．（本小题满分12分）
通过市场调查，得到某产品的资金投入x(万元)与获得的利润y(万元)的数据，
如下表所示：
资金投入x
2
3
4
5
6
利润y
2
3
5
6
9
(Ⅰ)画出数据对应的散点图；
(Ⅱ)根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程＝ x＋；
(Ⅲ)现投入资金10万元，估计获得的利润为多少万元？

20．（本小题满分12分）
已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线；
命题：函数在上单调递增.
（Ⅰ）若为真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若为真命题，求实数的取值

21．（本小题满分12分）
已知点M是椭圆E：上一动点，椭圆E的左、右焦点分别为、，离心率为.
（Ⅰ）若且；
（i）求椭圆E的方程；
（ii）设点M到直线的距离为，则比值是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由.
（Ⅱ）若点M到直线的距离为，类比（1）中的（ii），则比值是否为定值？若是，写出该定值.(不要求书写求解或证明过程)

22．（本小题满分14分）
已知函数，.
(Ⅰ) 若曲线在点处切线的斜率为1，求a的值；
(Ⅱ) 讨论函数极值点的个数；
(Ⅲ) 若在上恒成立，求a的取值范围.

宁德市五校教学联合体2014-2015学年第二学期期中考试
高二文科数学参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1.A 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 9.B 10.A 11.C 12.A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
13. 1 14. 0 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.解：（Ⅰ）由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为，
乙班优秀人数为25人，优秀率为，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.…………………………4分
（Ⅱ ）

优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
30
20
50
乙班
20
30
50
合计
50
50
100

………………………………………………………8分
因为 ………………………………………10分
所以由参考数据知，有的把握认为有帮助． ………………………………12分
18. 解：（Ⅰ）∵
∴或 ……………………………………2分
由题意得，
∴ ……………………………………4分
∴ ……………………………………5分
（Ⅱ） ……………………………………6分
∴ …………………9分

……………………………………12分
19.解：(Ⅰ)由x、y的数据可得对应的散点图如图；
……………………………………4分
(Ⅱ)因为， ， …………………………6分
所以 ………………8分
所以 ……………………………………9分
故. ……………………………………10分
(Ⅲ)当x＝10万元时， ＝15.2万元，
所以投入资金10万元，估计获得的利润为15.2万元． …………………12分
20. 解：（Ⅰ）∵表示焦点在轴上的双曲线
∴， ……………………………………2分
解得 ……………………………………4分
∴为真命题时，实数的取值范围为 ………………………………5分
（Ⅱ）∵在上单调递增，
∴在上恒成立， ………………………………6分
即在上恒成立. ……………………………………7分
∵
∴函数在上单调递减
∴ ……………………………………9分
即 ：
∵为真命题，∴假真 ……………………………………10分
∴ ∴
∴为真命题，实数的取值范围为 ………………………………12分
21. 解：（Ⅰ） 由题意得 ……………………………………1分
解得， ……………………………………2分
∴
椭圆E的方程为 ……………………………………4分
(Ⅱ) 设点M的坐标为，
则，， ……………………………7分
∴
∴为定值 ……………………………10分
(Ⅲ) 为定值（或）. ……………………………12分
22.解：(Ⅰ) 由，得
又，
∴ ……………………………………………………………3分
(Ⅱ) ∵，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
∴在上没有极值点. ………………………………6分
当时，得，得
∴在上单调递减，在上单调递增
∴在有极小值.
综上得 当时，在上没有极值点；
当时，在上有一个极值点. ………………………………9分
(Ⅲ) 在上恒成立
即在上恒成立 ………………………………10分
令，
∴
令
∴在上恒成立 ………………………………12分
∴在上单调递增
∴
∴在上恒成立
∴在上单调递增
∴
∴ ………………………………14分