2015中考数学压轴题静态几何之三角形问题专题试题附答案.docx

中考压轴题中静态几何之三角形问题，主要有三角形全等问题，三形角相似问题，等腰（边）三角形问题，直角三角形问题，解三角形应用问题。 一. 三角形全等问题 原创模拟预测题1如图， 中， ， ，则由“ ”可以判定（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．以上答案都不对 【答案】B 【解析】 考点：本题考查三角形全等的判定方法 点评：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
原创模拟预测题2. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠AEC，那么图中有　 　对全等三角形。 【答案】3。 【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定。 二. 三形角相似问题 原创模拟预测题3. 已知：如图， ，当 为多少时，图中的两个三角形相似． 【答案】 为3.6或4.8 【解析】 考点：相似三角形的判定和性质 点评：分类讨论问题是初中数学的重点和难点，是中考的热点，一般是中考压轴题，难度较大，需特别注意.
原创模拟预测题4. 如图，已知△ABC中，AB＝ ，AC＝ ，BC＝6，点M在AB边上，且AM= BM，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长。 【答案】①如图1，过点M作MN∥BC交AC于点N， 则△AMN∽△ABC， ∴ 。 ∵AM= BM，∴ 。 ∵BC＝6，∴MN=2。 【考点】相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】作MN∥BC交AC于点N，由△AMN∽△ABC可得MN的长；作∠AMN=∠B，利用△AMN∽△ACB可得MN的长。 三. 等腰（边）三角形问题 原创模拟预测题5. 如图，矩形ABCD的BC边在直线l上，AD=5，AB=3， P为直线l上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则BP= 【答案】4或1或9。 【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分类思想的应用。 【分析】如图，根据题意， 原创模拟预测题6. 在正方形ABCD中，点E在BC边所在直线上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB。 证明：△BGF是等腰直角三角形。 【答案】（1）如图1，若点E在BC边上， ∵EF⊥AC于点F，∴∠AFE=90°。 ∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，∴ 。 在Rt△ABE中，同理可得 。 ∴GF=GB。∴△BGF为等腰三角形。 又∵AG=BG，AG=FG，∴∠BGE=2∠BAG，∠EGF=2∠GAF。 又∵∠BAC=45°，∴∠BGF=∠BGE ∠EGF=2（∠BAG ∠GAF）=2∠BAC=90°。 ∴△BGF为等腰直角三角形。 （3）如图3，若点E在CB的延长线上， 同（1）可证△BGF为等腰三角形， ∵AG=BG，AG=FG，∴∠BGE=2∠BAG，∠EGF=2∠GAF。 又∵∠BAC=45°，∴∠BGF=∠EGF ∠BGE =2（∠GAF ∠BAG）=2∠BAC=90°。 ∴△BGF为等腰直角三角形。 综上所述，△BGF是等腰直角三角形。 【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质。 【分析】分点E在BC边上，在BC的延长线上，点E在CB的延长线上三种情况证明即可。 四. 直角三角形问题 原创模拟预测题7. 阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成长方形，使△ABC的两个顶点为长方形一边的两个端点，第三个顶点落在长方形这一边的对边上，那么符合要求的长方形可以画出两个：长方形ACBD和长方形AEFB（如图2）。 解答问题： （1）设图2中长方形ACBD和长方形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2（填“＞”、“＝”或“＜”） （2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出 个，利用图3把它画出来。 （3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出 个，利用图4把它画出来。 （4）在（3）中所画出的长方形中，哪一个的周长最小？为什么？ 【答案】（1）=；（2）1；（3）3；（4）以AB为边的长方形。 【解析】 （1）=； （2）1； （3）3； （4）以AB为边长的长方形周长最小， 设长方形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为 ， ， ，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个长方形的面积相等，设为S， ， ，同理可得 ∴以AB为边长的长方形周长最小． 考点：本题考查的是直角三角形的综合应用 点评：解决此题的关键是注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法．
原创模拟预测题8. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC= cm，则四边形ABCD的面积是 cm2。 【答案】24。 【考点】多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。转换思想的应用。 五. 解三角形应用问题 原创模拟预测题9. 如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，点D在BC上，AD=BD，则AD的长是 ，cosB的值是 (结果保留根号)。 【答案】 ； 。 【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。 【分析】可以证明△ABC∽△BDA，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosB的值： ∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝ ＝36°。 ∵AD=BD，∴∠ABD＝∠BAD＝36°。∴ △ABC∽△BDA。∴ 。 ∵∠BAC＝108°，∠BAD＝36°，∴∠CAD＝72°。 又∵∠ACB＝36°，∴∠CDA＝72°。∴∠CAD＝∠CDA＝72°。∴CD=CA=1。 设AD＝x，则BD＝AD＝x，BC＝ ， ∴ （舍去负值）。 ∴AD＝x＝ 。 原创模拟预测题10. 某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长BC=20 m，斜坡上的影长CD=2m，已知斜坡CD与操场平面的夹角为45°，同时测得身高l. 65m的学生在操场 上的影长为3.3 m．求旗杆AB的高度。(结果精确到1m) (提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据： ≈1.414． ≈1.732． ≈2.236) 【答案】过D点作CE的垂线，垂足为点F，连接AD并延长交CE于点G，设学生的身高为MN。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。 【分析】如图，作出旗杆AB的在地面的影长BG，再根据同时测得的身高l.65m学生在操场上的影长为3.3 m和∠DCF=45°即可求解。

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