普通高中数学选修21学案3教案.doc

普通高中数学选修2--1（第三章）学案 3.1空间向量及其运算
长铁一中导学·学案
第4课时：空间向量的正交分解及其坐标表示
年级：高二 班级： 姓名：
课型；新课 主备人： 胡碧银 审核人：罗永义 导学时间：第 周
学习目标：
1、 类比平面向量基本定理推导空间向量基本定理，了解空间向量基本定理的意义；
2、 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
3、 体会在空间图形中选用三个不共面向量作为基底表示其他向量的方法。
自主学习
1、 空间向量基本定理
定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得= 。
其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量。
2、 空间向量的正交分解及其坐标表示
（1） 单位正交基底
三个有公共起点O的 称为单位正交基底。
（2） 空间直角坐标系
以的公共起点O为原点，分别以 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立 。
（3）对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量
，存在有序实数组使得，把称为在单位正交基底下的坐标。
知识的运用
例1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？

变式训练：以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
例2、在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：

（1） ； (2)；
(3) ； (4).

变式训练：已知三棱锥A—BCD.
(1)化简(＋－)并标出化简结果的向量；
(2)设G为△BCD的重心，试用，，表示向量.

例3、已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求 的坐标．

变式训练：在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB= ，|AO| = 4，|BO|= 2，
|AA1| = 4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求的坐标.

课堂小结：
1、 空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2、对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
课堂练习：
1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

2.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并说明理由．

3、已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)

作业：P98 ,6，11

小结与反思：

普通高中数学选修2--1（第三章）学案 3.1空间向量及其运算
长铁一中导学·学案
第5课时：空间向量运算的坐标表示
年级：高二 班级： 姓名：
课型；新课 主备人： 胡碧银 审核人：罗永义 导学时间：第 周
学习目标：
1、 类比平面向量的运算的坐标表示推导空间向量的运算的坐标表示；
2、 掌握空间向量的坐标表示的规律；
3、 利用空间向量的坐标解决一些立体几何中得问题。
自主学习：
设，，则
1、向量的直角坐标运算
= ，= ，
=
∥ ， 。
2.夹角与距离公式
cos = ;
设,则= 。
知识的运用
例1、设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.

变式训练：已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件

例2、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，
求证：D1F⊥平面ADE.

变式训练：已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．

例3、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心．

(1)求证：B1O3⊥PA；
(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；
(3)求PO2的长．

变式训练：直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是AA1的中点．
(1)求BN的长；
(2)求BA1，B1C所成角的余弦值．

课堂练习：
1．已知a＝(sinθ，cosθ，tanθ)，b＝(cosθ，sinθ，)，有a⊥b，则θ等于(　　)
A．－ B. C．2kπ－ (k∈Z) D．kπ－ (k∈Z)
2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，则λ为(　　)
A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－
3．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A．90° B．60° C．30° D．0°
4. 模等于2且方向与向量a＝(1,2,3)相同的向量为________________．
5. E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中线段A1D，AC上的点，且DE＝AF＝AC.
求证：(1)EF∥BD1；(2)EF⊥A1D.

4、 课堂小结：
空间向量的坐标表示的规律；利用空间向量的坐标解决一些立体几何中得问题。

作业：P98 5,8,9,10

小结与反思：