2017广东高三数学理一轮复习导数及其应用专题突破训练.docx

广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 导数及其应用 一、选择、填空题 1、（2016年全国I卷）函数y=2x2�Ce|x|在[�C2,2]的图像大致为 （A） （B） （C） （D） 2、（2016年全国II卷）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线， ． 3、（2015年全国I卷）设函数 = ,其中a 1，若存在唯一的整数x0，使得 0，则 的取值范围是（ ） 4、（广州市2016届高三二模）曲线 在点 处的切线方程为 . 5、（汕头市2016届高三二模）已知等比数列 满足 ， ，函数 的导函数为 ，且 ，那么 ． 6、（深圳市2016届高三二模）设定义在 上的函数 满足 ， ，则 （ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 7、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））已知 是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递减区间是（ ） A． 　 B． 　　　 C． 　 D． 8、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知 为R上的连续可导函数，且 ，则函数 的零点个数为__________ 9、（惠州市2016届高三第三次调研考试）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 ． 10、（揭阳市2016届高三上期末）若函数 存在唯一的零点，则实数a的取值范围为 （A） （B） （C） （D）
二、解答题 1、（2016年全国I卷）已知函数 有两个零点. (I)求a的取值范围； (II)设x1，x2是 的两个零点，学科.网证明： +x2<2.
2、（2015年全国I卷）已知函数f（x）= (Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数
3、（2016年全国II卷）(I)讨论函数 的单调性，并证明当 时， (II)证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小值为 ，求函数 的值域.

4、（佛山市2016届高三二模） 设函数 ，函数 ．若直线 y = e - x 是曲线C : y = f ( x ) 的一条切线,其中e是自然对数的底数,且 f ( 1) = 1 . (Ⅰ) 求a , b 的值； (Ⅱ) 设0 < n < m < 1 ,证明: f ( m) > g ( n )
5、（广州市2016届高三二模）已知函数 R . (Ⅰ) 当 时，求函数 的最小值； (Ⅱ) 若 时, ,求实数 的取值范围； （Ⅲ）求证： .
6、（茂名市2016届高三二模）已知函数 , (I) 将 写成分段函数的形式（不用说明理由），并求 的单调区间。 （II）若 ，比较 与 的大小。
7、（深圳市2016届高三二模）已知函数 ，直线 为曲线 的切线． （1）求实数 的值； （2）用 表示 中的最小值，设函数 ，若函数 为增函数，求实数 的取值范围．
8、（潮州市2016届高三上期末）已知函数 。 （I）若 在 ＝1处取得极值，求实数 的值； （II）若 ≥5－3 恒成立，求实数 的取值范围；

9、（东莞市2016届高三上期末）已知函数 。 （I）设 ，若函数 在区间（0,2）内有且仅有一个极值点，求实数m的取值范围； （II）设 ，若函数 存在两个零点 ，且满足 ，问：函数 在 处的切线能否平行于直线 ＝1，若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由。
10、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））设常数 ， ， ． （1）当 时，若 的最小值为 ，求 的值； （2）对于任意给定的正实数 、 ，证明：存在实数 ，当 时， ．
11、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知函数 （ 为自然对数的底数， 为常数）在点 处的切线斜率为 . （Ⅰ）求 的值及函数 的极值； （Ⅱ）证明：当 时， ； （III）证明：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 ，恒有 .

12、（惠州市2016届高三第三次调研考试）已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若存在 ，使得 （ 是自然对数的底数）， 求实数 的取值范围。
参考答案 一、选择、填空题 1、 ，排除A ，排除B 时， ，当 时， 因此 在 单调递减，排除C 故选D． 2、【解析】 的切线为： （设切点横坐标为 ） 的切线为： ∴ 解得 ∴ ． 3、【答案】D 【解析】 试题分析：设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的下方. 因为 ，所以当 时， ＜0，当 时， ＞0，所以当 时， = ， 当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，故 ，且 ，解得 ≤ ＜1，故选D. 考点：导数的综合应用 4、 5、 6、【答案】D 【解析】 的定义域为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ． ∵ ，∴ ． ∴ ， ∴ 在 上单调递增， ∴ 在 上既无极大值也无极小值． 7、B　　8、0　　 9、 　【解析】函数 和函数 互为反函数图像关于 对称，则只有直线 与直线 垂直时 才能取得最小值。设 ，则点 到直线 的距离为 ，令 ，则 ， 令 得 ；令 得 ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增。 则 时 ，所以 。 则 。（备注：也可以用平行于 的切线求最值） 10、D 【解析】函数 存在唯一的零点，即方程 有唯一的实根 直线 与函数 的图象有唯一的交点，由 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， 有极小值， ，故当 时，直线 与函数 的图象有唯一的交点. 或因 由 得 或 ，若 显然 存在唯一的零点，若 ， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，且 故 存在唯一的零点，若 ，要使 存在唯一的零点，则有 解得 ，综上得 .
二、解答题 1、⑴ 由已知得： ① 若 ，那么 ， 只有唯一的零点 ，不合题意； ② 若 ，那么 ， 所以当 时， ， 单调递增 当 时， ， 单调递减 即： ↓ 极小值 ↑ 故 在 上至多一个零点，在 上至多一个零点 由于 ， ，则 ， 根据零点存在性定理， 在 上有且仅有一个零点． 而当 时， ， ， 故 则 的两根 ， ， ，因为 ，故当 或 时， 因此，当 且 时， 又 ，根据零点存在性定理， 在 有且只有一个零点． 此时， 在 上有且只有两个零点，满足题意． ③ 若 ，则 ， 当 时， ， ， 即 ， 单调递增； 当 时， ， ，即 ， 单调递减； 当 时， ， ，即 ， 单调递增． 即： + 0 - 0 + ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 而极大值 故当 时， 在 处取到最大值 ，那么 恒成立，即 无解 而当 时， 单调递增，至多一个零点 此时 在 上至多一个零点，不合题意． ④ 若 ，那么 当 时， ， ，即 ， 单调递增 当 时， ， ，即 ， 单调递增 又 在 处有意义，故 在 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意． ⑤ 若 ，则 当 时， ， ，即 ， 单调递增 当 时， ， ，即 ， 单调递减 当 时， ， ，即 ， 单调递增 即： + 0 - 0 + ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 故当 时， 在 处取到最大值 ，那么 恒成立，即 无解 当 时， 单调递增，至多一个零点 此时 在 上至多一个零点，不合题意． 综上所述，当且仅当 时符合题意，即 的取值范围为 ．
⑵ 由已知得： ，不难发现 ， ， 故可整理得： 设 ，则 那么 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增． 设 ，构造代数式： 设 ， 则 ，故 单调递增，有 ． 因此，对于任意的 ， ． 由 可知 、 不可能在 的同一个单调区间上，不妨设 ，则必有 令 ，则有 而 ， ， 在 上单调递增，因此： 整理得： ． 2、【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点. 解析：（Ⅰ）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ， ，即 ，解得 . 因此，当 时， 轴是曲线 的切线. ……5分 （Ⅱ）当 时， ，从而 ， ∴ 在（1，+∞）无零点. 当 =1时，若 ，则 ， ,故 =1是 的零点；若 ，则 ， ,故 =1不是 的零点. 当 时， ，所以只需考虑 在（0,1）的零点个数. (��)若 或 ，则 在（0,1）无零点，故 在（0,1）单调，而 ， ，所以当 时， 在（0，1）有一个零点；当 0时， 在（0，1）无零点. (��)若 ，则 在（0， ）单调递减，在（ ，1）单调递增，故当 = 时， 取的最小值，最小值为 = . ① 若 ＞0，即 ＜ ＜0， 在（0,1）无零点. ② 若 =0，即 ，则 在（0,1）有唯一零点； ③ 若 ＜0，即 ，由于 ， ，所以当 时， 在（0,1）有两个零点；当 时， 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点. ……12分 3、【解析】⑴证明： ∵当 时， ∴ 在 上单调递增 ∴ 时， ∴ ⑵ 由(1)知，当 时， 的值域为 ，只有一解． 使得 ， 当 时 ， 单调减；当 时 ， 单调增 记 ，在 时， ，∴ 单调递增 ∴ ． 4、 5、(Ⅰ)解:当 时， ,则 . …………………1分 令 ，得 . 当 时, ; 当 时, . …………………………2分 ∴函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. ∴当 时,函数 取得最小值,其值为 . ……………………3分 (Ⅱ)解:若 时, ,即 .(*) 令 , 则 . ① 若 ,由(Ⅰ)知 ,即 ,故 . ∴ . …………………………………………4分 ∴函数 在区间 上单调递增. ∴ . ∴(*)式成立. …………………………………………5分 ②若 ,令 , 则 . ∴函数 在区间 上单调递增. 由于 , . …………………………………………6分 故 ,使得 . …………………………………………7分 则当 时, ,即 . ∴函数 在区间 上单调递减. ∴ ,即(*)式不恒成立. ………………………………………8分 综上所述,实数 的取值范围是 . ………………………………………9分 (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当 时, 在 上单调递增. 则 ,即 .…………………………………10分 ∴ . …………………………………………11分 ∴ ,即 . …………………………………………12分 6、解：（1） ………………………………………1分 ……………………………………………2分 当 时 , 单调递减， 当 时 , 单调递增………………………………3分 所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 ………………4分 （2）令 .则 , 记 ，则 时 ， 在 是增函数， 所以在 上， ， 在 内单调递增。 而 , ………………5分 , , 且 . 又因为 在 上是增函数且连续不间断,所以 在 内有唯一的零点, 不妨设为 ,即 ,其中 . ………………6分 又由于 在 内单调递增,则当 时, ; 当 时, . 那么 . 再令 ,则有 .……………………………………7分 1) 当 时， , 在 上递增. 又 所以 时， . 故当 时， ………………8分 2) 当 时， ， 在 上单调递增. , , 为 上单调递增且连续不间断，知 在 有唯一个零点,不妨设为 ,则 ,其中 . 故当 时, ， ; …………9分 当 时, ， …………10分 3) 当 时， 易知 在 上单调递减。 又 , , 为 上单调递减且连续不间断, 在 有唯一的零点,不妨设为 , 即 ,其中 .由 在 上单调递减, 有当 时, ; …………11分 当 时, . ……………12分 7、【解析】（1）对 求导得 ， 设直线 与曲线 切于点 ，则 ， 解得 ．所以 的值为1． （2）记函数 ，下面考察函数 的符号． 对函数 求导得 ． 当 时 恒成立． 当 时， ， 从而 ． ∴ 在 上恒成立，故 在 上单调递减． ∵ ，∴ ． 又曲线 在 上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知 惟一的 ，使 ∴ ． ∴ ， 从而 ∴ 由函数 为增函数，且曲线 在 上连续不断知 在 ， 上恒成立． ①当 时， 在 上恒成立，即 在 上恒成立． 记 ，则 ， 当 变化时， ， 变化情况如下表：

极小值
∴ ． 故“ 在 上恒成立”只需 ，即 ． ②当 时， ，当 时， 在 上恒成立． 综合（1）（2）知，当 时，函数 为增函数． 故实数 的取值范围是 ． 8.解：（Ⅰ）∵ ， ∴ ．………………………………….….. 1分 由题意得 ，即 ，解得 ．…………….. 2分 经检验，当 时，函数 在 取得极大值．……….. 3分 ∴ .………………………………………………………..……….4分 （Ⅱ）设 ，则函数 的定义域为 ． ∴当 时， 恒成立． 于是 ，故 ．………….…………………….……5分 ∵ ． ∴方程 有一负根 和一正根 ， ．其中 不在函数定义域内． 当 时， ，函数 单调递减． 当 时， ，函数 单调递增． ∴ 在定义域上的最小值为 ．……………………………………….……7分 依题意 ．即 ．又 ， 于是 ，又 ，所以 ． ∴ ，即 ，…………..……9分 令 ，则 ． 当 时， ，所以 是增函数． 又 ，所以 的解集为 ．…... 11分 又函数 在 上单调递增， ∴ ． 故 的取值范围是 ．……………………………….……………………12分 解法二：由于 的定义域为 ， 于是 可化为 ．……………………..……5分 设 ．则 ． 设 ，则 ． 当 时， ，所以 在 减函数． 又 ， ∴当 时， ，即当 时， ， ∴ 在 上是减函数． ∴当 时， .………….……..…8分 当 时，先证 ， 设 ， ， 是增函数且 ， ，即 ， 当 时， …..11分 综上所述 的最大值为2． ∴ 的取值范围是 ．………………………………………….………12分 9、 10、【解析】 ………………1分 将 代入得 ,………………3分 由 ,得 ,且当 时, , 递减；………………4分 时, , 递增；故当 时, 取极小值 , 因此 最小值为 ,令 ,解得 .………………6分 (Ⅱ)因为 ,………………7分 记 ,故只需证明:存在实数 ,当 时, , [方法1] ,………………8分 设 , ,则 易知当 时, ,故 ………………10分 又由 解得: ,即 取 ,则当 时, 恒有 . 即当 时, 恒有 成立.………………12分 [方法2] 由 ,得: ,………………8分 故 是区间 上的增函数.令 , , , 则 ,因为 ,………………10分 故有 令 ,解得: , 设 是满足上述条件的最小正整数,取 ,则当 时, 恒有 , 即 成立.………………12分
11、 12、解：（Ⅰ） ．……………………（1分） 因为当 时， ， 在 上是增函数， 因为当 时， ， 在 上也是增函数， 所以当 或 ，总有 在 上是增函数，……………………………（2分） 又 ，所以 的解集为 ， 的解集为 ，……（3分） 故函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．……………………（4分） （Ⅱ）因为存在 使得 成立， 而当 时， ， 所以只要 即可．………………………………………（5分） 又因为 ， ， 的变化情况如下表所示：
减函数 极小值 增函数 所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当 时， 的最小值 ， 的最大值 为 和 中的最大值．………（7分） 因为 ， 令 ，因为 ， 所以 在 上是增函数． 而 ，故当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ．………………………………（9分） 所以，当 时， ，即 ， 函数 在 上是增函数，解得 ；…………………（10分） 当 时， ，即 ， 函数 在 上是减函数，解得 ．………………（11分） 综上可知，所求 的取值范围为 ．……………………… (12分)

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