2017广东高三数学理一轮复习导数及其应用专题突破训练.docx

广东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 导数及其应用 一、选择、填空题 1、（2016年全国I卷）函数y=2x2Ce|x|在C2,2的图像大致为 （A） （B） （C） （D） 2、（2016年全国II卷）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线， 3、（2015年全国I卷）设函数 = ,其中a 1，若存在唯一的整数x0，使得 0，则 的取值范围是（ ） 4、（广州市2016届高三二模）曲线 在点 处的切线方程为 . 5、（汕头市2016届高三二模）已知等比数列 满足 ， ，函数 的导函数为 ，且 ，那么 6、（深圳市2016届高三二模）设定义在 上的函数 满足 ， ，则 （ ） A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值，又有极小值 D既无极大值，也无极小值 7、（佛山市2016届高三教学质量检测（一）已知 是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递减区间是（ ） A B C D 8、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知 为R上的连续可导函数，且 ，则函数 的零点个数为_ 9、（惠州市2016届高三第三次调研考试）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 10、（揭阳市2016届高三上期末）若函数 存在唯一的零点，则实数a的取值范围为 （A） （B） （C） （D）二、解答题 1、（2016年全国I卷）已知函数 有两个零点. (I)求a的取值范围； (II)设x1，x2是 的两个零点，学科.网证明： +x22.2、（2015年全国I卷）已知函数f（x）= ()当a为何值时，x轴为曲线 的切线； （）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数3、（2016年全国II卷）(I)讨论函数 的单调性，并证明当 时， (II)证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小值为 ，求函数 的值域.4、（佛山市2016届高三二模） 设函数 ，函数 若直线 y = e - x 是曲线C : y = f ( x ) 的一条切线,其中e是自然对数的底数,且 f ( 1) = 1 . () 求a , b 的值； () 设0 n m g ( n )5、（广州市2016届高三二模）已知函数 R . () 当 时，求函数 的最小值； () 若 时, ,求实数 的取值范围； （）求证： .6、（茂名市2016届高三二模）已知函数 , (I) 将 写成分段函数的形式（不用说明理由），并求 的单调区间。 （II）若 ，比较 与 的大小。7、（深圳市2016届高三二模）已知函数 ，直线 为曲线 的切线 （1）求实数 的值； （2）用 表示 中的最小值，设函数 ，若函数 为增函数，求实数 的取值范围8、（潮州市2016届高三上期末）已知函数 。 （I）若 在 1处取得极值，求实数 的值； （II）若 53 恒成立，求实数 的取值范围；9、（东莞市2016届高三上期末）已知函数 。 （I）设 ，若函数 在区间（0,2）内有且仅有一个极值点，求实数m的取值范围； （II）设 ，若函数 存在两个零点 ，且满足 ，问：函数 在 处的切线能否平行于直线 1，若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由。10、（佛山市2016届高三教学质量检测（一）设常数 ， ， （1）当 时，若 的最小值为 ，求 的值； （2）对于任意给定的正实数 、 ，证明：存在实数 ，当 时， 11、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知函数 （ 为自然对数的底数， 为常数）在点 处的切线斜率为 . （）求 的值及函数 的极值； （）证明：当 时， ； （III）证明：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 ，恒有 .12、（惠州市2016届高三第三次调研考试）已知函数 （）求函数 的单调区间； （）若存在 ，使得 （ 是自然对数的底数）， 求实数 的取值范围。参考答案 一、选择、填空题 1、 ，排除A ，排除B 时， ，当 时， 因此 在 单调递减，排除C 故选D 2、【解析】 的切线为： （设切点横坐标为 ） 的切线为： 解得 3、【答案】D 【解析】 试题分析：设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在直线 的下方. 因为 ，所以当 时， 0，当 时， 0，所以当 时， = ， 当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，故 ，且 ，解得 1，故选D. 考点：导数的综合应用 4、 5、 6、【答案】D 【解析】 的定义域为 ， ， ， ， ， ， ， 在 上单调递增， 在 上既无极大值也无极小值 7、B8、0 9、 【解析】函数 和函数 互为反函数图像关于 对称，则只有直线 与直线 垂直时 才能取得最小值。设 ，则点 到直线 的距离为 ，令 ，则 ， 令 得 ；令 得 ， 则 在 上单调递减，在 上单调递增。 则 时 ，所以 。 则 。（备注：也可以用平行于 的切线求最值） 10、D 【解析】函数 存在唯一的零点，即方程 有唯一的实根 直线 与函数 的图象有唯一的交点，由 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， 有极小值， ，故当 时，直线 与函数 的图象有唯一的交点. 或因 由 得 或 ，若 显然 存在唯一的零点，若 ， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，且 故 存在唯一的零点，若 ，要使 存在唯一的零点，则有 解得 ，综上得 .二、解答题 1、 由已知得： 若 ，那么 ， 只有唯一的零点 ，不合题意； 若 ，那么 ， 所以当 时， ， 单调递增 当 时， ， 单调递减 即： 极小值 故 在 上至多一个零点，在 上至多一个零点 由于 ， ，则 ， 根据零点存在性定理， 在 上有且仅有一个零点 而当 时， ， ， 故 则 的两根 ， ， ，因为 ，故当 或 时， 因此，当 且 时， 又 ，根据零点存在性定理， 在 有且只有一个零点 此时， 在 上有且只有两个零点，满足题意 若 ，则 ， 当 时， ， ， 即 ， 单调递增； 当 时， ， ，即 ， 单调递减； 当 时， ， ，即 ， 单调递增 即： + 0 - 0 + 极大值 极小值 而极大值 故当 时， 在 处取到最大值 ，那么 恒成立，即 无解 而当 时， 单调递增，至多一个零点 此时 在 上至多一个零点，不合题意 若 ，那么 当 时， ， ，即 ， 单调递增 当 时， ， ，即 ， 单调递增 又 在 处有意义，故 在 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意 若 ，则 当 时， ， ，即 ， 单调递增 当 时， ， ，即 ， 单调递减 当 时， ， ，即 ， 单调递增 即： + 0 - 0 + 极大值 极小值 故当 时， 在 处取到最大值 ，那么 恒成立，即 无解 当 时， 单调递增，至多一个零点 此时 在 上至多一个零点，不合题意 综上所述，当且仅当 时符合题意，即 的取值范围为 由已知得： ，不难发现 ， ， 故可整理得： 设 ，则 那么 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增 设 ，构造代数式： 设 ， 则 ，故 单调递增，有 因此，对于任意的 ， 由 可知 、 不可能在 的同一个单调区间上，不妨设 ，则必有 令 ，则有 而 ， ， 在 上单调递增，因此： 整理得： 2、【答案】（） ；（）当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点. 解析：（）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ， ，即 ，解得 . 因此，当 时， 轴是曲线 的切线. 5分 （）当 时， ，从而 ， 在（1，+）无零点. 当 =1时，若 ，则 ， ,故 =1是 的零点；若 ，则 ， ,故 =1不是 的零点. 当 时， ，所以只需考虑 在（0,1）的零点个数. ()若 或 ，则 在（0,1）无零点，故 在（0,1）单调，而 ， ，所以当 时， 在（0，1）有一个零点；当 0时， 在（0，1）无零点. ()若 ，则 在（0， ）单调递减，在（ ，1）单调递增，故当 = 时， 取的最小值，最小值为 = . 若 0，即 0， 在（0,1）无零点. 若 =0，即 ，则 在（0,1）有唯一零点； 若 0，即 ，由于 ， ，所以当 时， 在（0,1）有两个零点；当 时， 在（0,1）有一个零点.10分 综上，当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点. 12分 3、【解析】证明： 当 时， 在 上单调递增 时， 由(1)知，当 时， 的值域为 ，只有一解 使得 ， 当 时 ， 单调减；当 时 ， 单调增 记 ，在 时， ， 单调递增 4、 5、()解:当 时， ,则 . 1分 令 ，得 . 当 时, ; 当 时, . 2分 函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 当 时,函数 取得最小值,其值为 . 3分 ()解:若 时, ,即 .(*) 令 , 则 . 若 ,由()知 ,即 ,故 . . 4分 函数 在区间 上单调递增. . (*)式成立. 5分 若 ,令 , 则 . 函数 在区间 上单调递增. 由于 , . 6分 故 ,使得 . 7分 则当 时, ,即 . 函数 在区间 上单调递减. ,即(*)式不恒成立. 8分 综上所述,实数 的取值范围是 . 9分 ()证明:由()知,当 时, 在 上单调递增. 则 ,即 .10分 . 11分 ,即 . 12分 6、解：（1） 1分 2分 当 时 , 单调递减， 当 时 , 单调递增3分 所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 4分 （2）令 .则 , 记 ，则 时 ， 在 是增函数， 所以在 上， ， 在 内单调递增。 而 , 5分 , , 且 . 又因为 在 上是增函数且连续不间断,所以 在 内有唯一的零点, 不妨设为 ,即 ,其中 . 6分 又由于 在 内单调递增,则当 时, ; 当 时, . 那么 . 再令 ,则有 .7分 1) 当 时， , 在 上递增. 又 所以 时， . 故当 时， 8分 2) 当 时， ， 在 上单调递增. , , 为 上单调递增且连续不间断，知 在 有唯一个零点,不妨设为 ,则 ,其中 . 故当 时, ， ; 9分 当 时, ， 10分 3) 当 时， 易知 在 上单调递减。 又 , , 为 上单调递减且连续不间断, 在 有唯一的零点,不妨设为 , 即 ,其中 .由 在 上单调递减, 有当 时, ; 11分 当 时, . 12分 7、【解析】（1）对 求导得 ， 设直线 与曲线 切于点 ，则 ， 解得 所以 的值为1 （2）记函数 ，下面考察函数 的符号 对函数 求导得 当 时 恒成立 当 时， ， 从而 在 上恒成立，故 在 上单调递减 ， 又曲线 在 上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知 惟一的 ，使 ， 从而 由函数 为增函数，且曲线 在 上连续不断知 在 ， 上恒成立 当 时， 在 上恒成立，即 在 上恒成立 记 ，则 ， 当 变化时， ， 变化情况如下表：极小值 故“ 在 上恒成立”只需 ，即 当 时， ，当 时， 在 上恒成立 综合（1）（2）知，当 时，函数 为增函数 故实数 的取值范围是 8.解：（） ， . 1分 由题意得 ，即 ，解得 . 2分 经检验，当 时，函数 在 取得极大值. 3分 .4分 （）设 ，则函数 的定义域为 当 时， 恒成立 于是 ，故 .5分 方程 有一负根 和一正根 ， 其中 不在函数定义域内 当 时， ，函数 单调递减 当 时， ，函数 单调递增 在定义域上的最小值为 .7分 依题意 即 又 ， 于是 ，又 ，所以 ，即 ，.9分 令 ，则 当 时， ，所以 是增函数 又 ，所以 的解集为 . 11分 又函数 在 上单调递增， 故 的取值范围是 .12分 解法二：由于 的定义域为 ， 于是 可化为 .5分 设 则 设 ，则 当 时， ，所以 在 减函数 又 ， 当 时， ，即当 时， ， 在 上是减函数 当 时， .8分 当 时，先证 ， 设 ， ， 是增函数且 ， ，即 ， 当 时， .11分 综上所述 的最大值为2 的取值范围是 .12分 9、 10、【解析】 1分 将 代入得 ,3分 由 ,得 ,且当 时, , 递减；4分 时, , 递增；故当 时, 取极小值 , 因此 最小值为 ,令 ,解得 .6分 ()因为 ,7分 记 ,故只需证明:存在实数 ,当 时, , 方法1 ,8分 设 , ,则 易知当 时, ,故 10分 又由 解得: ,即 取 ,则当 时, 恒有 . 即当 时, 恒有 成立.12分 方法2 由 ,得: ,8分 故 是区间 上的增函数.令 , , , 则 ,因为 ,10分 故有 令 ,解得: , 设 是满足上述条件的最小正整数,取 ,则当 时, 恒有 , 即 成立.12分11、 12、解：（） （1分） 因为当 时， ， 在 上是增函数， 因为当 时， ， 在 上也是增函数， 所以当 或 ，总有 在 上是增函数，（2分） 又 ，所以 的解集为 ， 的解集为 ，（3分） 故函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 （4分） （）因为存在 ，使得 成立， 而当 时， ， 所以只要 即可（5分） 又因为 ， ， 的变化情况如下表所示：减函数 极小值 增函数 所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当 时， 的最小值 ， 的最大值 为 和 中的最大值（7分） 因为 ， 令 ，因为 ， 所以 在 上是增函数 而 ，故当 时， ，即 ； 当 时， ，即 （9分） 所以，当 时， ，即 ， 函数 在 上是增函数，解得 ；（10分） 当 时， ，即 ， 函数 在 上是减函数，解得 （11分） 综上可知，所求 的取值范围为 (12分)20 20