20182019高二数学上学期1月月考试卷含答案山东临沂罗庄区.docx

高二上学期月考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（ ） 2．已知条件 ，条件 ，则 是 成立的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ．抛物线 的准线方程( ) ． A． B． C． D． .已知向量 ， ，若 与 共线，则 的值为（ ） 5．在等差数列 中，已知 ，则 = （ ） A．10 B．18 C．20 D．28 ．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)(78)n，则当an取得最大值时，n等于(　　)
A．5 B．6 C．5或6 D．7 ．若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是( )． A． B． C． D． ．已知 是等比数列， ， ，则 （ ） A． B． C． D． ．一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A、椭圆 B、双曲线的一支 C、抛物线 D、圆
．过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线 与离心率为 的双曲线 的两条渐近线的交点分别为 .若 分别表示 的横坐标，且 ，则 （ ） A． B． C. D． 11．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝12AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　) A.66 B.33 C. 23 D. 63 ．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， 恒成立，则函数 的零点的个数为（ ） 1 2 3 4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案须填在题中横线上． ．已知 ，则 的最小值是___ ____． ．已知等比数列 中 ，则其前3项的和 的取值范围是 ．
．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________． ．右图是函数 的导函数 的图象，给出下列命题： ① 是函数 的极值点； ② 是函数 的极小值点； ③ 在 处切线的斜率小于零； ④ 在区间 上单调递增. 则正确命题的序号是
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知函数 ． 　　(Ⅰ)若 在 上是增函数，求实数 的取值范围； 　　(Ⅱ)若 是 的极值点，求 在 上的最小值和最大值．

18．（本小题满分12分）数列 的前 项和 ， ，且 ． (1) 证明数列 为等差数列； （2）数列 的通项公式； （3）若 ，求证： ．

19.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产 千件，需另投入成本为 当年产量不足80千件时， （万元）.当年产量不小于80千件时， （万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （Ⅰ）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．

．（本小题满分12分） 设动点 的坐标为 （ ），向量 ， ，且 =8． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 作直线 与曲线 交于 、 两点，若 （ 为坐标原点），是否存在直线 ，使得四边形 为矩形，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由．

22．（本题满分12分）已知函数 ． （Ⅰ）设 是函数 的极值点，求 的值并讨论 的单调性； （Ⅱ）当 时，证明： ＞ ．

高二数学试题参考答案 一、选择题： ABBDC CBCAD DC 二、填空题： ． ． ． 3(4) ．①④ 三、解答题： 17．【解析】(Ⅰ) ，要 在 [1，＋∞ 上是增函数，则有 在 [1，＋∞ 内恒成立，即 在 [1，＋∞ 内恒成立， 又 （当且仅当x=1时取等号），所以 ，故 ，即得 ． ……………………………………5分 （Ⅱ）由题意知 的一个根为 ，可得 ， 所以 的根为 或 (舍去)， 当 的变化时， ， 的变化情况如下表： ……………………………………7分
¬0
极大值
∴ ， ．…………………………10分 18．解：(1) 当 时 所以 方程两边同乘 得 ， 为等差数列，且公差为2． （2）由(1)， ，故 ． ① 当 时， ； ② 当 时， ， 又当 时， 不符合上式， 所以 ． （3）由(2)， ．故 ， 所以 ． 19解：（Ⅰ）因为每件商品售价为0.05万元，则 千件商品销售额为0.05×1000 万元，依题意得：当 时， .………………………………2分 当 时， = .………………………………………………4分 所以 …………6分 （Ⅱ）当 时， 此时，当 时， 取得最大值 万元. ………………8分 当 时， 此时，当 时，即 时 取得最大值1000万元.………………11分 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.………12分 20.解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，∴→(A1B)＝(2,0，－4)，→(C1D)＝(1，－1，－4)． ∵cos〈→(A1B)，→(C1D)〉＝|(C1D)＝18(18)＝10(10)， ∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为10(10). (2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，∵→(AD)＝(1,1,0)，→(AC1)＝(0,2,4)，∴n1•→(AD)＝0，n1•→(AC1)＝0，即x＋y＝0且2y＋4z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，∴n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ. 由cosθ＝|n1||n2|(|n1•n2|)＝×1(2)＝3(2)，得sinθ＝3(5). 因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为3(5). 21．【解析】（1）因为 =8，所以 ．表示动点 到两个定点 ， 的距离之和等于8，且 ． ……2分 所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆．……3分 设椭圆方程为 ， 则 ， ， ，故 ． 则动点 的轨迹 的方程是 ． …………………5分 （2）因为直线 过点 ， ① 若直线 的斜率不存在，则 的方程为 ，与椭圆的两个交点 、 为椭圆的顶点．由 ，则 与 重合，与 为四边形矛盾．…………7分 ② 若直线 的斜率存在，设方程为 ， ， . 由 得 . 恒成立． 由根与系数关系得： ， . …………8分 因为 ， 所以四边形 为平行四边形． 若存在直线 使四边形 为矩形，则 ，即 ． 所以 ． 所以 ． 即 ． 化简得： ．与斜率存在矛盾． 故不存在直线 ，使得四边形 为矩形． …………………12分 22．解证：（Ⅰ） ，由 是 的极值点得 ， 即 ，所以 ． ………………………………２分 于是 ， ， 由 知 在 上单调递增，且 ， 所以 是 的唯一零点． ……………………………４分 因此，当 时， ；当 时， ， 所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．………………６分 （Ⅱ）解法一：当 ， 时， ， 故只需证明当 时， ＞ ． 当 时，函数 在 上单调递增， 又 ， 故 在 上有唯一实根 ，且 ．…………………9分 当 时， ；当 时， ， 从而当 时， 取得最小值且 ． 由 得 , ．…………………………………11分 故 = = ． 综上，当 时， ． …………………………12分 解法二：当 ， 时， ，又 ,所以 ． ………………………………………８分 取函数 ， ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，得函数 在 时取唯一的极小值即最小值为 ． ……10分 所以 ，而上式三个不等号不能同时成立， 故 ＞ ．…………………………………12分

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