基于最小方差法低通FIR的设计论文.doc

基于最小方差低通FIR滤波器设计说明书

（一）设计目标
根据所学的数字信号处理和MATLAB相关知识，用最小方差法设计一个低通FIR滤波器。从FIR数字滤波器的系统函数可以看出，极点都是在z平面的原点，而零点的分布是任意的。不同的分布将对应不同的频率响应，最优化设计实际上就是调节这些零点的分布，使得实际滤波器的频率响应Hd(ejω)与理想滤波器的频率响应Hd(ejω)之间的最大绝对误差最小。
（二）低通FIR滤波器技术指标
1 （通带截止频率） （阻带截止频率）
（通带衰减） （阻带衰减）
（通带最大衰减） （阻带最小衰减）
(三)低通FIR滤波器的设计
3.1 低通FIR滤波器阶数的估计
46
由于N为偶数，所以可以设计一个1型的低通FIR滤波器。
3.2 对于基于最小方差的线性相位FIR滤波器的设计下面式子为误差的简化为

其中是低通FIR的振幅响应，是要求的振幅响应，是权重函数。由于所有四种类型的线性相位FIR滤波器的振幅响应可以表示为
cos(wk)
3.3 cos(wk) 式中、、L的确定
a 的确定
由于不同类型也就不尽相同，不同类型时的表达式如下
=1 对于1型
=cos() 对于2型
=sin() 对于3型
=sin() 对于4型
由于我们 设计的低通FIR滤波器为1型所以 =1
b 的确定
同样根据不同的类型其的表达式也不一样
= 对于1型
= 对于2型
= 对于3型
= 对于4型
我们选择=，对于1型,，
C L 的确定
L=M 对于1型
L= 对于2型
L= M-1 对于3型
L= 对于4型
根据N与M的关系 M=,表示取不大于的最大整数，所以M=22,L=22。
3.4 中、的确定
根据最小方差的相关要求可知
在通带中
在阻带中
在通带中
在阻带中
3.5 根据上面式子可以确定，L的值和的表达式，由于最小方差是滤波器参数的一个函数。为了得到的最小值，令

由它可生成（L+1）个等式的线性方程组，用来求解。
我们考虑1型线性相位FIR滤波器的设计。在这种情况下，=1，=
且L=22。则均方误差的表达式为

若有

，式中。
计算如下
1 求H，
1-15时取1，16-22时取0将0到0.35上取均匀的22点最后求的
H=[1 0.9987 0.9950 0.9888 0.980 0.968 0.955 0.939 0.921 0.900 0.877 0.853 0.825 0.796 0.765 0.732 0.697 0.660 0.622 0.582 0.540 0.498 ;1 0.995 0.980 0.955 0.921 0.877 0.825 0.765 0.697 0.622 0.540 0.454 0.363 0.268 0.170 0.07 0.028 0.128 0.226 0.322 0.415 0.588;1 0.988 0.955 0.900 0.825 0.732 0.622 0.498 0.363 0.219 0.071 0.078 0.226 0.369 0.504 0.627 0.737 0.829 0.904 0.957 0.989 0.999 ;1 0.980 0.921 0.825 0.697 0.541 0.363 0.170 0.028 0.226 0.415 0.588 0.737 0.856 0.942 0.989 0.998 0.967 0.897 0.792 0.654 0.492 ;1 0.968 0.877 0.732 0.540 0.315 0.071 0.177 0.415 0.627 0.800 0.924 0.989 0.99 0.937 0.821 0.655 0.312 0.212 0.035 0.282 0.510 ; 1 0.955 0.825 0.622 0.363 0.071 0.226 0.504 0.737 0.904 0.989 0.988 0.897 0.727 0.492 0.212 0.0085 0.376 0.633 0.833 0.959 0.999 ;1 0.939 0.765 0.498 0.170 0.177 0.504 0.769 0.942 0.999 0.937 0.760 0.277 0.163 0.184 0.510 0.774 0.944 0.999 0.934 0.755 0.485;1 0.921 0.697 0.363 0.028 0.415 0.736 0.942 0.998 0.897 0.655 0.309 0.008 0.467 0.774 0.959 0.993 0.870 0.610 0.254 0.142 0.516; 1 0.900 0.622 0.219 0.226 0.627 0.903 0.999 0.897 0.616 0.212 0.233 0.633 0.906 0.999 0.894 0.610 0.205 0.240 0.638 0.909 0.999 ;1 0.877 0.541 0.071 0.415 0.800 0.989 0.937 0.655 0.212 0.282 0.707 0.959 0.977 0.755 0.349 0.142 0.599 0.909 0.997 0.841 0.479;1 0.852 0.454 0.078 0.587 0.923 0.987 0.760 0.309 0.233 0.707 0.972 0.951 0.649 0.156 0.382 0.809 0.997 0.891 0.522 0 0.522 ;1 0.825 0.363 0.226 0.736 0.989 0.897 0.492 0.085 0.633 0.959 0.951 0.610 0.057 0.516 0.909 0.985 0.717 0.199 0.389 0.841 0.999;1 0.796 0.268 0.369 0.856 0.994 0.727 0.163 0.467 0.907 0.977 0.649 0.057 0.558 0.946 0.949 0.564 0.049 0.644 0.975 0.909 0.473;1 0.765 0.170 0.504 0.940 0.937 0.491 0.184 0.774 0.999 0.755 0.156 0.516 0.946 0.932 0.479 0.198 0.783 0.999 0.746 0.142 0.528; 1 0.732 0.071 0.627 0.989 0.821 0.212 0.510 0.959 0.894 0.349 0.349 0.909 0.948 0.478 0.247 0.841 0.984 0.599 0.107 0.755 0.999;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
算这个H时算出来的负值取了它的绝对值
2 求
令d=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0]
然后最小均方解可以根据求解线性方程得到。
令 a=
a=n*pinv(r)
用MATLAB可以计算出 a
c=a'
c =
1.0e+005 *
Columns 1 through 19
0.9539 2.5572 -1.4336 -0.3735 1.9754 -3.7572 3.5858 -2.6165 -2.3165 2.7508 -3.4883 2.3659 -3.8173 1.9029 0.5901 0 0 0 0
Columns 20 through 22
0 0 0
=｛ 0.9539 2.5572 -1.4336 -0.3735 1.9754 -3.7572 3.5858 -2.6165 -2.3165 2.7508 -3.4883 2.3659 -3.8173 1.9029 0.5901 0 0 0 0
0 0 0｝
3 最终的结果
由于N的限制所以所设计的滤波器为1型所以
=1 ==c L=M=22
根据表达式 cos(wk)
=0.9539+2.5572-1.4336-0.3735+1.9754-3.7572+3.5858-2.6165-2.3165+2.7508-3.4883+2.3659-3.8173+1.9029+0.5901
16到22项为0
这里我们只是求出了幅频特性，但由于其相频特性是确定的所以在设计中不考虑其相频特性。
求=0.0916()+0.1171()-0.6515-0.1867
+0.9877-1.8786+1.7929-1.3082-1.1582+1.3754-1.7441+1.1829-1.9086+0.9514+0.2950
4 计算误差
由和可求出误差
用MATLAB计算误差如下
h=[1 0.9987 0.9950 0.9888 0.980 0.968 0.955 0.939 0.921 0.900 0.877 0.853 0.825 0.796 0.765 0.732 0.697 0.660 0.622 0.582 0.540 0.498 ;1 0.995 0.980 0.955 0.921 0.877 0.825 0.765 0.697 0.622 0.540 0.454 0.363 0.268 0.170 0.07 0.028 0.128 0.226 0.322 0.415 0.588;1 0.988 0.955 0.900 0.825 0.732 0.622 0.498 0.363 0.219 0.071 0.078 0.226 0.369 0.504 0.627 0.737 0.829 0.904 0.957 0.989 0.999 ;1 0.980 0.921 0.825 0.697 0.541 0.363 0.170 0.028 0.226 0.415 0.588 0.737 0.856 0.942 0.989 0.998 0.967 0.897 0.792 0.654 0.492 ;1 0.968 0.877 0.732 0.540 0.315 0.071 0.177 0.415 0.627 0.800 0.924 0.989 0.99 0.937 0.821 0.655 0.312 0.212 0.035 0.282 0.510 ; 1 0.955 0.825 0.622 0.363 0.071 0.226 0.504 0.737 0.904 0.989 0.988 0.897 0.727 0.492 0.212 0.0085 0.376 0.633 0.833 0.959 0.999 ;1 0.939 0.765 0.498 0.170 0.177 0.504 0.769 0.942 0.999 0.937 0.760 0.277 0.163 0.184 0.510 0.774 0.944 0.999 0.934 0.755 0.485;1 0.921 0.697 0.363 0.028 0.415 0.736 0.942 0.998 0.897 0.655 0.309 0.008 0.467 0.774 0.959 0.993 0.870 0.610 0.254 0.142 0.516; 1 0.900 0.622 0.219 0.226 0.627 0.903 0.999 0.897 0.616 0.212 0.233 0.633 0.906 0.999 0.894 0.610 0.205 0.240 0.638 0.909 0.999 ;1 0.877 0.541 0.071 0.415 0.800 0.989 0.937 0.655 0.212 0.282 0.707 0.959 0.977 0.755 0.349 0.142 0.599 0.909 0.997 0.841 0.479;1 0.852 0.454 0.078 0.587 0.923 0.987 0.760 0.309 0.233 0.707 0.972 0.951 0.649 0.156 0.382 0.809 0.997 0.891 0.522 0 0.522 ;1 0.825 0.363 0.226 0.736 0.989 0.897 0.492 0.085 0.633 0.959 0.951 0.610 0.057 0.516 0.909 0.985 0.717 0.199 0.389 0.841 0.999;1 0.796 0.268 0.369 0.856 0.994 0.727 0.163 0.467 0.907 0.977 0.649 0.057 0.558 0.946 0.949 0.564 0.049 0.644 0.975 0.909 0.473;1 0.765 0.170 0.504 0.940 0.937 0.491 0.184 0.774 0.999 0.755 0.156 0.516 0.946 0.932 0.479 0.198 0.783 0.999 0.746 0.142 0.528; 1 0.732 0.071 0.627 0.989 0.821 0.212 0.510 0.959 0.894 0.349 0.349 -0.909 0.948 0.478 0.247 0.841 0.984 0.599 0.107 0.755 0.999;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]
a=[ 0.9539 2.5572 -1.4336 -0.3735 1.9754 -3.7572 3.5858 -2.6165 -2.3165 2.7508 -3.4883 2.3659 -3.8173 1.9029 0.5901 0 0 0 0 0 0 0];
s=h*a'
d=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0];
c=s-d'
e=c*c'
e=
Columns 1 through 19
3.6235 2.4192 -0.7942 -1.7213 1.1543 2.2088 1.9128 0.4541 1.2903 2.4710 3.5210 0.6483 -4.8485 -0.3134 -9.8727 0 0 0 0
2.4192 1.6152 -0.5303 -1.1492 0.7707 1.4747 1.2771 0.3032 0.8615 1.6498 2.3508 0.4329 -3.2372 -0.2093 -6.5916 0 0 0 0
-0.7942 -0.5303 0.1741 0.3773 -0.2530 -0.4841 -0.4193 -0.0995 -0.2828 -0.5416 -0.7718 -0.1421 1.0628 0.0687 2.1640 0 0 0 0
-1.7213 -1.1492 0.3773 0.8177 -0.5483 -1.0493 -0.9086 -0.2157 -0.6129 -1.1738 -1.6726 -0.3080 2.3032 0.1489 4.6899 0 0 0 0
1.1543 0.7707 -0.2530 -0.5483 0.3677 0.7036 0.6093 0.1447 0.4110 0.7871 1.1216 0.2065 -1.5445 -0.0998 -3.1450 0 0 0 0
2.2088 1.4747 -0.4841 -1.0493 0.7036 1.3464 1.1660 0.2768 0.7865 1.5063 2.1463 0.3952 -2.9556 -0.1911 -6.0182 0 0 0 0
1.9128 1.2771 -0.4193 -0.9086 0.6093 1.1660 1.0097 0.2397 0.6811 1.3044 1.8586 0.3422 -2.5594 -0.1655 -5.2116 0 0 0 0
0.4541 0.3032 -0.0995 -0.2157 0.1447 0.2768 02397 0.0569 0.1617 0.3097 0.4413 0.0813 -0.6076 -0.0393 -1.2373 0 0 0 0
1.2903 0.8615 -0.2828 -0.6129 0.4110 0.7865 0.6811 0.1617 0.4595 0.8799 1.2538 0.2309 -1.7265 -0.1116 -3.5156 0 0 0 0
2.4710 1.6498 -0.5416 -1.1738 0.7871 1.5063 1.3044 0.3097 0.8799 1.6850 2.4011 0.4421 -3.3064 -0.2137 -6.7325 0 0 0 0
3.5210 2.3508 -0.7718 -1.6726 1.1216 2.1463 1.8586 0.4413 1.2538 2.4011 3.4214 0.6300 -4.7114 -0.3046 -9.5934 0 0 0 0
0.6483 0.4329 -0.1421 -0.3080 0.2065 0.3952 0.3422 0.0813 0.2309 0.4421 0.6300 0.1160 -0.8675 -0.0561 -1.7665 0 0 0 0
-4.8485 -3.2372 1.0628 2.3032 -1.5445 -2.9556 -2.5594 -0.6076 -1.7265 -3.3064 -4.7114 -0.8675 6.4878 0.4194 13.2106 0 0 0 0
-0.3134 -0.2093 0.0687 0.1489 -0.0998 -0.1911 -0.1655 -0.0393 -0.1116 -0.2137 -0.3046 -0.0561 0.4194 00271 0.8540 0 0 0 0
-9.8727 -6.5916 2.1640 4.6899 -3.1450 -6.0182 -5.2116 -1.2373 -3.5156 -6.7325 -9.5934 -1.7665 13.2106 0.8540 26.8998 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Columns 20 through 22
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0 0 0
(四) 用直接型和级联型这两种结构实现
1 直接型
直接型是利用输入信号和滤波器单位脉冲响应的线性卷积来描述输出信号。
虽然有22阶但16到22阶为0所以直接型结构如下

(五)用FDATOOL分析
设定相关参数后但到其幅频特性如下

相频特性曲线如下

零极图如下

(六)误差分析
1 误差产生的原因
因为在数字信号处理中，需要将输入的离散信号和系统的参数进行量化，而量化的结果必然与原来的数值之间存在误差，误差的大小要依据计算机的字长而定。另一个误差来源是于乘法产生的，例如两个B位的二进制相乘其结果是一个2B位的二进制数，在有限字长的限制下我们需要对乘积进行截尾或舍入处理，这样也就产生了误差。
由于一般计算机字长较长，量化步长很小，所以量化误差不大，常常忽略。所以我们常常考虑的误差是乘积所造成的误差。
2 误差的理论计算
信号经过量化之后产生了量化噪声，所以经过量化的信号可以看成是原来信号与量化噪声之和，即
=+
这样，量化后的信号通过线性系统就等于与分别通过线性系统之和。所以线性系统的输出

其中是噪声通过系统的输出，
如果是舍入噪声，则的方差

如果认为序列本身任意两个值之间是不相关的，则
，当
当
式中为量化步长，为有限字长位数。
0.0003255 （字长为8时）
0.0000013 （字长为16时）
有上面计算结果可知字长越长则误差越长
3 用FDATOOL分析不同字长对其幅频响应和相频响应的影响
字长取8时其幅频特性曲线及器误差

字长取16时幅频与相频特性曲线及其误差

用FDATOOL分析经过取不同字长得到的幅频与相频图也可以看出字长越长其误差越小。
(七) 设计小结
经过低通FIR滤波器的设计，熟悉的设计数字滤波器的基本步骤及基本思想。进一步熟悉MATLAB的基本操作，及当取不同字长时对其产生的影响。掌握了滤波器分析工具FDATOOL的基本操作。

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